题趣果壳题库AI 出卷
数学初中公开试卷

华东师大版七年级数学上册

华东师大版七年级数学上册 绝对值必考重点题型（压轴题） （满分：100分 考试时间：90分钟） 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项） 1. 若 ∣ a ∣ = 5 |a| = 5 ∣

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华东师大版七年级数学上册


绝对值必考重点题型（压轴题）

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________


一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）

1. 若 ∣a∣=5|a| = 5，∣b∣=3|b| = 3，且 ∣a−b∣=b−a|a - b| = b - a，则 a+ba + b 的值为（         ）

A. -2 B. -8 C. -2 或 -8 D. 2 或 8

2. 已知 ∣x−2∣+∣y+3∣=0|x - 2| + |y + 3| = 0，则 (x+y)2026(x + y)^{2026} 的值为（         ）

A. 1 B. -1 C. 0 D. 无法确定

3. 若 aa、bb 为有理数，且 ∣a∣+∣b∣=0|a| + |b| = 0，则下列说法正确的是（         ）

A. aa、bb 互为相反数    B. a=b=0a = b = 0    C. aa、bb 中至少有一个为0    D. aa、bb 异号

4. 若 ∣m∣=−m|m| = -m，则 mm 一定是（         ）

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数

5. 有理数 aa、bb 在数轴上的位置如图所示（aa 在原点左侧，bb 在原点右侧，且 ∣a∣>∣b∣|a| > |b|），则化简 ∣a−b∣+∣a+b∣|a - b| + |a + b| 的结果为（         ）

A. -2a B. 2b C. 2a D. -2b

6. 已知整数 xx 满足 ∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| 的值最小，则 xx 的值为（         ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 2 或 3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）


7. 若 ∣a−1∣+(b+2)2=0|a - 1| + (b + 2)^2 = 0，则 a+b=a + b =  ______

8. 若 ∣x∣=7|x| = 7，∣y∣=4|y| = 4，且 ∣x+y∣=x+y|x + y| = x + y，则 x−y=x - y =  ______

9. 若 ∣a∣=3|a| = 3，∣b∣=5|b| = 5，且 a>ba > b，则 a+b=a + b =  ______

10. 若 ∣x−3∣+∣x+2∣=5|x - 3| + |x + 2| = 5，则整数 xx 的取值共有 ______ 个

11. 若 ∣a∣=2|a| = 2，∣b∣=3|b| = 3，∣c∣=4|c| = 4，且 abc>0abc > 0，则 a+b+c=a + b + c =  ______

12. 若 ∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣+∣x−4∣|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| 的最小值为 ______

三、解答题（本大题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）

13.（本题满分10分） 已知 ∣a∣=4|a| = 4，∣b∣=6|b| = 6，且 ∣a+b∣=−(a+b)|a + b| = -(a + b)，求 a−ba - b 的值。

解：

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14.（本题满分10分） 有理数 aa、bb、cc 在数轴上的位置如图所示（a<b<0<ca < b < 0 < c，且 ∣a∣>∣c∣>∣b∣|a| > |c| > |b|），化简：∣a−b∣+∣b−c∣−∣a−c∣|a - b| + |b - c| - |a - c|。

解：

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15.（本题满分10分） 已知 ∣x−2∣+∣y−3∣+∣z+4∣=0|x - 2| + |y - 3| + |z + 4| = 0，求 x+y−zx + y - z 的值。

解：

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16.（本题满分10分） 若 aa、bb、cc 均为非零有理数，且 a∣a∣+b∣b∣+c∣c∣=−1\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = -1，求 abc∣abc∣\frac{abc}{|abc|} 的值。

解：

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17.（本题满分12分） 已知 ∣x−1∣=3|x - 1| = 3，∣y+2∣=5|y + 2| = 5，且 ∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x，求 x+yx + y 的值。

解：

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18.（本题满分12分） 同学们都知道，∣5−(−2)∣|5 - (-2)| 表示 5 与 -2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 -2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离。试探索：

（1）求 ∣5−(−2)∣=|5 - (-2)| =  ______；

（2）找出所有符合条件的整数 xx，使得 ∣x+5∣+∣x−2∣=7|x + 5| + |x - 2| = 7 成立；

（3）由以上探索猜想：对于任何有理数 xx，∣x−3∣+∣x−6∣|x - 3| + |x - 6| 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由。

解：

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参考答案

一、选择题（每小题3分，共18分）

1. C

解析：由 ∣a−b∣=b−a|a - b| = b - a 知 a−b≤0a - b \le 0，即 a≤ba \le b。又 ∣a∣=5|a| = 5，∣b∣=3|b| = 3，则 a=±5a = \pm 5，b=±3b = \pm 3。满足 a≤ba \le b 的有：a=−5a = -5，b=3b = 3 或 b=−3b = -3。故 a+b=−2a + b = -2 或 −8-8。

2. A

解析：由非负性知 x−2=0x - 2 = 0 且 y+3=0y + 3 = 0，得 x=2x = 2，y=−3y = -3。则 x+y=−1x + y = -1，(−1)2026=1(-1)^{2026} = 1。

3. B

解析：绝对值具有非负性，两个非负数之和为 0，则每个数都为 0，故 a=b=0a = b = 0。

4. C

解析：∣m∣=−m|m| = -m，即一个数的绝对值等于它的相反数，则 m≤0m \le 0，即 mm 为非正数。

5. A

解析：由题意 a<0<ba < 0 < b，且 ∣a∣>∣b∣|a| > |b|，则 a−b<0a - b < 0，a+b<0a + b < 0。故 ∣a−b∣+∣a+b∣=−(a−b)−(a+b)=−a+b−a−b=−2a|a - b| + |a + b| = -(a - b) - (a + b) = -a + b - a - b = -2a。

6. B

解析：∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| 表示 xx 到 1、2、3 三点的距离之和，当 xx 取中间数 2 时，距离之和最小，最小值为 2。

二、填空题（每小题3分，共18分）

7. -1

解析：由非负性得 a−1=0a - 1 = 0，b+2=0b + 2 = 0，即 a=1a = 1，b=−2b = -2，故 a+b=−1a + b = -1。

8. 3 或 11

解析：由 ∣x+y∣=x+y|x + y| = x + y 知 x+y≥0x + y \ge 0。x=±7x = \pm 7，y=±4y = \pm 4。满足 x+y≥0x + y \ge 0 的有：x=7x = 7，y=4y = 4 或 y=−4y = -4。故 x−y=3x - y = 3 或 1111。

9. -2 或 -8

解析：a=±3a = \pm 3，b=±5b = \pm 5。由 a>ba > b 知 a=3a = 3，b=−5b = -5 或 a=−3a = -3，b=−5b = -5。故 a+b=−2a + b = -2 或 −8-8。

10. 6

解析：∣x−3∣+∣x+2∣|x - 3| + |x + 2| 表示 xx 到 3 和 -2 的距离之和。当 −2≤x≤3-2 \le x \le 3 时，距离之和恒为 5。故整数 xx 为 -2、-1、0、1、2、3，共 6 个。

11. 3 或 9

解析：a=±2a = \pm 2，b=±3b = \pm 3，c=±4c = \pm 4。由 abc>0abc > 0 知负因数个数为偶数（0 个或 2 个）。若 0 个负数，则 a+b+c=2+3+4=9a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9；若 2 个负数，则 a+b+c=−2−3+4=−1a + b + c = -2 - 3 + 4 = -1 或 −2+3−4=−3-2 + 3 - 4 = -3 或 2−3−4=−52 - 3 - 4 = -5，均不符合 abc>0abc > 0 的验证（实际需验证）。经检验，a=−2a = -2，b=−3b = -3，c=4c = 4 时 abc=24>0abc = 24 > 0，和为 -1；a=−2a = -2，b=3b = 3，c=−4c = -4 时 abc=24>0abc = 24 > 0，和为 -3；a=2a = 2，b=−3b = -3，c=−4c = -4 时 abc=24>0abc = 24 > 0，和为 -5。故 a+b+c=9a + b + c = 9 或 −1-1 或 −3-3 或 −5-5。

（注：本题答案为 9 或 -1 或 -3 或 -5）

12. 4

解析：∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣+∣x−4∣|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| 表示 xx 到 1、2、3、4 四点的距离之和。当 2≤x≤32 \le x \le 3 时，距离之和最小，最小值为 (4−1)+(3−2)=3+1=4(4 - 1) + (3 - 2) = 3 + 1 = 4。

三、解答题（共64分）

13.（10分）

解：由 ∣a+b∣=−(a+b)|a + b| = -(a + b) 知 a+b≤0a + b \le 0。 （2分）

因为 ∣a∣=4|a| = 4，∣b∣=6|b| = 6，所以 a=±4a = \pm 4，b=±6b = \pm 6。  （2分）

满足 a+b≤0a + b \le 0 的有：

① a=4a = 4，b=−6b = -6，此时 a+b=−2≤0a + b = -2 \le 0，a−b=4−(−6)=10a - b = 4 - (-6) = 10；  （2分）

② a=−4a = -4，b=−6b = -6，此时 a+b=−10≤0a + b = -10 \le 0，a−b=−4−(−6)=2a - b = -4 - (-6) = 2；  （2分）

③ a=−4a = -4，b=6b = 6，此时 a+b=2>0a + b = 2 > 0，不符合题意，舍去；

④ a=4a = 4，b=6b = 6，此时 a+b=10>0a + b = 10 > 0，不符合题意，舍去。

综上，a−b=10a - b = 10 或 22。  （2分）

14.（10分）

解：由题意 a<b<0<ca < b < 0 < c，且 ∣a∣>∣c∣>∣b∣|a| > |c| > |b|，则：  （2分）

a−b<0a - b < 0，b−c<0b - c < 0，a−c<0a - c < 0。  （3分）

所以 ∣a−b∣+∣b−c∣−∣a−c∣=−(a−b)−(b−c)+(a−c)|a - b| + |b - c| - |a - c| = -(a - b) - (b - c) + (a - c)  （3分）

=−a+b−b+c+a−c=0= -a + b - b + c + a - c = 0。  （2分）

15.（10分）

解：因为 ∣x−2∣≥0|x - 2| \ge 0，∣y−3∣≥0|y - 3| \ge 0，∣z+4∣≥0|z + 4| \ge 0，且它们的和为 0，  （2分）

所以 x−2=0x - 2 = 0，y−3=0y - 3 = 0，z+4=0z + 4 = 0。  （3分）

解得 x=2x = 2，y=3y = 3，z=−4z = -4。  （3分）

所以 x+y−z=2+3−(−4)=9x + y - z = 2 + 3 - (-4) = 9。  （2分）

16.（10分）

解：因为 aa、bb、cc 均非零，所以 a∣a∣\frac{a}{|a|}、b∣b∣\frac{b}{|b|}、c∣c∣\frac{c}{|c|} 的值均为 1 或 -1。  （2分）

因为 a∣a∣+b∣b∣+c∣c∣=−1\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = -1，所以三个数中有一个为 1，两个为 -1。  （3分）

即 aa、bb、cc 中有两个负数，一个正数。  （2分）

所以 abc>0abc > 0，故 abc∣abc∣=1\frac{abc}{|abc|} = 1。  （3分）

17.（12分）

解：由 ∣x−1∣=3|x - 1| = 3 得 x−1=±3x - 1 = \pm 3，即 x=4x = 4 或 x=−2x = -2。  （2分）

由 ∣y+2∣=5|y + 2| = 5 得 y+2=±5y + 2 = \pm 5，即 y=3y = 3 或 y=−7y = -7。  （2分）

由 ∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x 知 x−y≤0x - y \le 0，即 x≤yx \le y。  （2分）

满足 x≤yx \le y 的有：

① x=4x = 4，y=3y = 3 不满足 x≤yx \le y，舍去；

② x=4x = 4，y=−7y = -7 不满足，舍去；

③ x=−2x = -2，y=3y = 3，满足，x+y=1x + y = 1；  （3分）

④ x=−2x = -2，y=−7y = -7，满足，x+y=−9x + y = -9。  （3分）

综上，x+y=1x + y = 1 或 −9-9。

18.（12分）

（1）∣5−(−2)∣=∣7∣=7|5 - (-2)| = |7| = 7。  （2分）

（2）∣x+5∣+∣x−2∣=7|x + 5| + |x - 2| = 7 表示 xx 到 -5 和 2 的距离之和为 7。  （2分）

因为 -5 到 2 的距离为 7，所以当 −5≤x≤2-5 \le x \le 2 时，距离之和恒为 7。  （2分）

所以整数 xx 为 -5、-4、-3、-2、-1、0、1、2，共 8 个。 （2分）

（3）有最小值。 （1分）

∣x−3∣+∣x−6∣|x - 3| + |x - 6| 表示 xx 到 3 和 6 的距离之和。  （1分）

当 3≤x≤63 \le x \le 6 时，距离之和最小，最小值为 6−3=36 - 3 = 3。  （2分）

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评分标准

一、选择题（每小题3分，共18分）

1. C    2. A    3. B    4. C    5. A    6. B

选对得 3 分，选错、多选或未选得 0 分。

二、填空题（每小题3分，共18分）

7. -1    8. 3 或 11    9. -2 或 -8    10. 6    11. 9 或 -1 或 -3 或 -5    12. 4

每空填对得 3 分，填错或未填得 0 分。第 8、9、11 题只填对一个答案得 1 分，填对两个及以上得 3 分。

三、解答题（共64分）

13.（10分） 判断 a+b≤0a + b \le 0 得 2 分；写出 aa、bb 的所有可能值得 2 分；分类讨论每种情况各 2 分，共 4 分；结论正确得 2 分。漏掉一种情况扣 2 分。

14.（10分） 正确判断 a−ba - b、b−cb - c、a−ca - c 的符号各得 1 分，共 3 分；正确去绝对值符号得 3 分；化简结果正确得 2 分；结论正确得 2 分。

15.（10分） 写出非负性得 2 分；由非负性正确列出三个方程得 3 分；解出 xx、yy、zz 的值各得 1 分，共 3 分；代入计算正确得 2 分。

16.（10分） 判断 a∣a∣\frac{a}{|a|} 等三个式子的值为 1 或 -1 得 2 分；由和为 -1 判断出两个负数一个正数得 4 分；判断 abc>0abc > 0 得 2 分；结论正确得 2 分。

17.（12分） 正确解出 xx 的两个值得 2 分；正确解出 yy 的两个值得 2 分；由 ∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x 判断 x≤yx \le y 得 2 分；分类讨论每种情况各 2 分，共 4 分；结论正确得 2 分。漏掉一种情况扣 2 分。

18.（12分） 第（1）小题 2 分；第（2）小题理解几何意义得 2 分，判断取值范围得 2 分，写出所有整数得 2 分；第（3）小题判断有最小值得 1 分，理解几何意义得 1 分，求出最小值得 2 分。