初中八年级网格画图几何证明题
初中八年级网格画图几何证明题 （满分：8分 考试时间：15分钟） 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 题号 一 总分 分值 8 8 注意事项： 1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。 2. 请用黑色签字笔或铅笔作图、答题。 3. 网格作图要求清晰、准确，证明
试卷正文
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（满分：8分 考试时间：15分钟）
姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
| 题号 | 一 | 总分 |
| 分值 | 8 | 8 |
注意事项：
1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。
2. 请用黑色签字笔或铅笔作图、答题。
3. 网格作图要求清晰、准确，证明过程需逻辑严谨、步骤完整。
4. 保持卷面整洁。
一、网格画图几何证明题（共1题，8分）
题目描述：
在给定的 $10 \times 10$ 网格坐标系中（网格最小单位为1），已知点 $A(0,0)$、$B(8,0)$、$C(0,6)$。点 $D$ 在线段 $BC$ 上，且 $BD:DC = 2:1$；点 $E$ 在线段 $AC$ 上，且 $AE:EC = 1:2$。连接 $AD$ 和 $BE$，两线交于点 $F$。连接 $CF$ 并延长，交线段 $AB$ 于点 $G$。
证明：直线 $FG$ 平行于直线 $DE$。
网格坐标系与作图要求：
1. 请在下方提供的 $10 \times 10$ 网格中，画出完整的图形。
2. 标注坐标轴（x轴和y轴）及单位刻度（0到10）。
3. 根据坐标，准确标出点 $A$、$B$、$C$ 的位置。
4. 根据比例 $BD:DC = 2:1$，计算出点 $D$ 的坐标，并在 $BC$ 上标出点 $D$。
5. 根据比例 $AE:EC = 1:2$，计算出点 $E$ 的坐标，并在 $AC$ 上标出点 $E$。
6. 作出线段 $AD$ 和 $BE$，并标出它们的交点 $F$。
7. 作出线段 $CF$ 并延长，标出它与 $AB$ 的交点 $G$。
8. 在图中所有点旁清晰标注其字母和坐标（例如：$A(0,0)$）。
y 10| 9| 8| 7| 6| C(0,6) 5| 4| 3| 2| 1| 0|A(0,0) B(8,0) +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（请在以上网格区域中作图，可借助直尺）
证明要求与答题区：
请完成以下证明步骤，并将答案写在对应横线上。
(1) 计算关键点坐标（2分）
解：由 $B(8,0)$，$C(0,6)$，且 $BD:DC = 2:1$，根据定比分点坐标公式，点 $D$ 的坐标为：
$D($ , $)$。
由 $A(0,0)$，$C(0,6)$，且 $AE:EC = 1:2$，点 $E$ 的坐标为：
$E($ , $)$。
(2) 运用塞瓦定理证明 $G$ 是 $AB$ 的中点（3分）
证明：在 $\triangle ABC$ 中，考虑三条共点线 $AD$、$BE$、$CG$。
已知点 $D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $AC$ 上，$G$ 在 $AB$ 上。
根据塞瓦定理，$AD$、$BE$、$CG$ 三线共点于 $F$ 的充要条件是：
$$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AG}{GB} = 1 $$
已知 $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1}$， $\frac{CE}{EA} = \frac{2}{1}$（因为 $AE:EC=1:2$）。
代入等式：
$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{AG}{GB} = 1 $$
解得 $\frac{AG}{GB} = $ 。
因此，点 $G$ 是线段 $AB$ 的 点，其坐标为 $G($ , $)$。
(3) 利用中点性质和三角形相似证明 $FG \parallel DE$（3分）
证明：连接 $DE$、$FG$。
在 $\triangle ABC$ 中，
因为 $G$ 是 $AB$ 的中点，且 $E$ 是 $AC$ 上满足 $AE:EC=1:2$ 的点，即 $AE = \frac{1}{3}AC$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，可以考虑中间点 $F$。
一种证明思路：
由 (1) 可知 $D$ 坐标为 $( \frac{16}{3}, 2 )$， $E$ 坐标为 $( 0, 2 )$， $G$ 坐标为 $( 4, 0 )$。
计算直线 $DE$ 的斜率：$k_{DE} = $ 。
计算直线 $FG$ 的斜率：首先需要求出点 $F$ 的坐标。点 $F$ 是 $AD$ 与 $BE$ 的交点。
求出直线 $AD$ 的方程：
求出直线 $BE$ 的方程：
联立方程解得点 $F$ 的坐标为 $F($ , $)$。
计算 $k_{FG} = $ 。
因为 $k_{DE}$ $k_{FG}$（填写“=”或“≠”），
所以直线 $FG$ 平行于直线 $DE$。
（也可通过证明 $\triangle AGF \sim \triangle ?$ 或 $\triangle ? \sim \triangle ?$，利用对应边成比例且夹角相等来证明平行，请写出你选择的证明过程。）
（以下为备用答题区）
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