初三数学综合测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡对应题号上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答。

3. 所有题目必须在答题卡规定的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、弄破。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡上。

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接填写在答题卡相应题号的横线上。

三、解答题（本大题共4小题，共24分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （6分）解方程：

（1）$2x^2 - 5x - 3 = 0$ （用公式法）

（2）$(x-3)^2 = 2x(3-x)$

18. （6分）已知：如图，在$\square ABCD$中，点$E$，$F$在对角线$AC$上，且$AE = CF$。

求证：四边形$BEDF$是平行四边形。

19. （6分）如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$AB$上一点，连接$CD$，且$\angle ACD = \angle ABC$。

（1）求证：$\triangle ACD \sim \triangle ABC$；

（2）若$AD=2$，$AB=6$，求$AC$的长。

20. （6分）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m+3)x + 2m + 2 = 0$。

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于2，求$m$的取值范围。

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21. （8分）如图，某农场计划利用一面墙（墙的最大可用长度为20米）和总长为48米的篱笆围成一个中间隔有一道篱笆的矩形养殖场$ABCD$（篱笆$EF$将矩形分成两个小矩形）。设$AB$边的长为$x$米，矩形$ABCD$的面积为$S$平方米。

（1）求$S$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；

（2）当$x$为何值时，养殖场的面积$S$最大？最大面积是多少？

22. （8分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB=16$，$BC=12$。点$P$从点$A$出发，沿$AB$以每秒2个单位的速度向点$B$运动，同时点$Q$从点$B$出发，沿$BC$以每秒1个单位的速度向点$C$运动。当点$P$到达点$B$时，两点同时停止运动。设运动时间为$t$秒（$0 < t < 8$）。

（1）当$t$为何值时，$\triangle PBQ$的面积为12？

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\triangle PBQ$与$\triangle BCD$相似？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。

五、综合题（本大题共1小题，共12分）

23. （12分）【问题提出】

在几何探究中，我们经常遇到线段比例关系的问题。如图1，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，且$DE \parallel BC$，则有$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$。

【问题探究】

若将直线$DE$绕点$A$旋转到图2的位置，点$D$，$E$仍分别在$AB$，$AC$的延长线上，上述结论是否仍然成立？请说明理由。

【拓展应用】

如图3，在四边形$ABCD$中，$AD \parallel BC$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$作$EF \parallel AD$，分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$。

（1）求证：$\frac{1}{AD} + \frac{1}{BC} = \frac{2}{EF}$；

（2）若$AD=4$，$BC=9$，求$EF$的长。

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. $x_1=3, x_2=-3$    12. 80    13. 6    14. $\pm6$    15. $\frac{8}{5}$    16. 2

三、解答题（共24分）

17. （6分）

解：（1）$a=2, b=-5, c=-3$ …………1分

$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\times2\times(-3) = 25+24=49 > 0$ …………2分

$x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2\times2} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$\therefore x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2}$ …………3分

（2）$(x-3)^2 + 2x(x-3) = 0$ …………1分

$(x-3)[(x-3) + 2x] = 0$

$(x-3)(3x-3) = 0$ …………2分

$\therefore x-3=0$ 或 $3x-3=0$

$\therefore x_1 = 3, x_2 = 1$ …………3分

18. （6分）

证明：连接$BD$，交$AC$于点$O$。

$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore OA = OC$，$OB = OD$。 …………2分

$\because AE = CF$，

$\therefore OA - AE = OC - CF$，即 $OE = OF$。 …………4分

又 $\because OB = OD$，

$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 …………6分

19. （6分）

（1）证明：在$\triangle ACD$和$\triangle ABC$中，

$\because \angle ACD = \angle ABC$，$\angle A = \angle A$， …………1分

$\therefore \triangle ACD \sim \triangle ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。 …………2分

（2）解：$\because \triangle ACD \sim \triangle ABC$，

$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$， …………3分

即 $AC^2 = AD \cdot AB$。 …………4分

$\because AD=2$，$AB=6$，

$\therefore AC^2 = 2 \times 6 = 12$。 …………5分

$\therefore AC = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。 …………6分

20. （6分）

（1）证明：$\Delta = [-(m+3)]^2 - 4 \times 1 \times (2m+2)$

$= m^2 + 6m + 9 - 8m - 8$

$= m^2 - 2m + 1$

$= (m-1)^2 \ge 0$。 …………2分

$\therefore$ 方程总有两个实数根。 …………3分

（2）解：解方程得 $x = \frac{m+3 \pm (m-1)}{2}$，

$\therefore x_1 = m+1$，$x_2 = 2$。 …………4分

$\because$ 方程有一个根小于2，

$\therefore m+1 < 2$ 且 $m+1 \ne 2$。 …………5分

解得 $m < 1$。 …………6分

四、应用题（共16分）

21. （8分）

解：（1）$\because AB = x$米，且有三条竖篱笆，

$\therefore BC = (48 - 3x)$米。 …………1分

$\therefore S = AB \cdot BC = x(48 - 3x) = -3x^2 + 48x$。 …………2分

墙长20米，$\therefore 0 < 48 - 3x \le 20$。

解得 $\frac{28}{3} \le x < 16$。 …………3分

$\therefore S = -3x^2 + 48x$（$\frac{28}{3} \le x < 16$）。 …………4分

（2）$S = -3x^2 + 48x = -3(x^2 - 16x) = -3(x-8)^2 + 192$。 …………6分

$\because a = -3 < 0$，且对称轴 $x=8$ 在自变量取值范围 $\frac{28}{3} \le x < 16$ 的左侧，

$\therefore$ 当 $x = \frac{28}{3}$ 时，$S$有最大值。 …………7分

$S_{最大} = -3 \times (\frac{28}{3})^2 + 48 \times \frac{28}{3} = -\frac{784}{3} + 448 = \frac{560}{3}$（平方米）。

答：当$x$为$\frac{28}{3}$米时，养殖场面积最大，最大面积为$\frac{560}{3}$平方米。 …………8分

22. （8分）

解：（1）由题意得：$AP=2t$，$BQ=t$，则$PB=16-2t$。 …………1分

$\triangle PBQ$的面积 $S = \frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (16-2t) \times t = -t^2 + 8t$。 …………2分

令 $-t^2 + 8t = 12$，即 $t^2 - 8t + 12 = 0$。 …………3分

解得 $t_1 = 2$，$t_2 = 6$。

$\because 0 < t < 8$，$\therefore t=2$或$t=6$。 …………4分

（2）存在。$\because \angle B = \angle BCD = 90^\circ$，

$\triangle PBQ$与$\triangle BCD$相似有两种情况：

① 当 $\frac{PB}{BQ} = \frac{BC}{CD}$ 时，$\frac{16-2t}{t} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$。 …………5分

解得 $t = \frac{64}{11}$。 …………6分

② 当 $\frac{PB}{BQ} = \frac{CD}{BC}$ 时，$\frac{16-2t}{t} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$。 …………7分

解得 $t = \frac{24}{5}$。

经检验，$t = \frac{64}{11}$ 和 $t = \frac{24}{5}$ 均在 $0 < t < 8$ 范围内。

$\therefore$ 当 $t = \frac{64}{11}$ 或 $t = \frac{24}{5}$ 时，$\triangle PBQ$与$\triangle BCD$相似。 …………8分

五、综合题（共12分）

23. （12分）

【问题探究】

结论仍然成立。 …………1分

理由：如图2，过点$D$作$DF \parallel AC$，交$BC$的延长线于点$F$。

$\because DE \parallel BC$，$DF \parallel AC$，

$\therefore$ 四边形$DECF$是平行四边形，$\therefore DE = CF$。 …………2分

$\because DF \parallel AC$，$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{CF}{BC}$。 …………3分

$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$。

同理可证 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。 …………4分

【拓展应用】

（1）证明：$\because AD \parallel EF \parallel BC$，

$\therefore \triangle AEO \sim \triangle ABC$，$\triangle DFO \sim \triangle DCB$。 …………5分

$\therefore \frac{OE}{BC} = \frac{AE}{AB}$，$\frac{OF}{BC} = \frac{DF}{DC}$。

又 $\because EF \parallel AD \parallel BC$，

$\therefore \frac{AE}{AB} = \frac{DF}{DC}$，$\therefore \frac{OE}{BC} = \frac{OF}{BC}$，即 $OE = OF = \frac{1}{2}EF$。 …………6分

$\because AD \parallel EF$，$\therefore \triangle AEO \sim \triangle ABD$，$\therefore \frac{OE}{AD} = \frac{BE}{AB}$。 …………7分

$\because EF \parallel BC$，$\therefore \triangle BEO \sim \triangle BAC$，$\therefore \frac{OE}{BC} = \frac{AE}{AB}$。

$\therefore \frac{OE}{AD} + \frac{OE}{BC} = \frac{BE}{AB} + \frac{AE}{AB} = \frac{AB}{AB} = 1$。 …………8分

$\therefore \frac{1}{AD} + \frac{1}{BC} = \frac{1}{OE}$。

$\because OE = \frac{1}{2}EF$，

$\therefore \frac{1}{AD} + \frac{1}{BC} = \frac{2}{EF}$。 …………9分

（2）解：将$AD=4$，$BC=9$代入 $\frac{1}{AD} + \frac{1}{BC} = \frac{2}{EF}$ 得：

$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{2}{EF}$， …………10分

$\frac{9+4}{36} = \frac{13}{36} = \frac{2}{EF}$， …………11分

$\therefore EF = \frac{72}{13}$。 …………12分