一、选择题（每题3分，共30分）

1. 计算 $a^3 \cdot a^2$ 的结果是（      ）

A. $a^5$      B. $a^6$      C. $a^9$      D. $a$

2. 计算 $(2x^2)^3$ 的结果是（      ）

A. $2x^5$      B. $6x^5$      C. $8x^5$      D. $8x^6$

3. 下列计算正确的是（ ）

A. $x^3 + x^3 = x^6$      B. $x^3 \cdot x^3 = 2x^3$      C. $(x^3)^2 = x^5$      D. $x^2 \cdot x^3 = x^5$

4. 计算 $(-3a^2b)^2$ 的结果是（      ）

A. $9a^4b^2$      B. $-9a^4b^2$      C. $6a^4b^2$      D. $-6a^4b^2$

5. 计算 $(x+2)(x-3)$ 的结果是（      ）

A. $x^2 - x - 6$      B. $x^2 + x - 6$      C. $x^2 - x + 6$      D. $x^2 + x + 6$

6. 若 $(x-5)(x+3) = x^2 + mx - 15$，则 $m$ 的值为（      ）

A. $-2$      B. $2$      C. $-8$      D. $8$

7. 计算 $(2x-1)^2$ 的结果是（      ）

A. $4x^2 - 4x + 1$      B. $4x^2 - 1$      C. $4x^2 - 2x + 1$      D. $4x^2 + 1$

8. 计算 $6a^3b^2 \div 3a^2b$ 的结果是（      ）

A. $2ab$      B. $2a^2b$      C. $2ab^2$      D. $2a$

9. 一个长方形的长为 $(3a+2)$ 米，宽为 $(a-1)$ 米，则它的面积是（      ）平方米。

A. $3a^2 - a - 2$      B. $3a^2 + 5a + 2$      C. $3a^2 - a + 2$      D. $3a^2 + a - 2$

10. 若 $x^m = 3$，$x^n = 5$，则 $x^{m+n}$ 的值为（      ）

A. $8$      B. $15$      C. $35$      D. $5^3$

二、填空题（每题3分，共18分）

11. 计算：$3^2 \times 3^3 = $ （      ）。

12. 计算：$(y^4)^2 = $ （      ）。

13. 计算：$(2m^2n) \cdot (-3mn^3) = $ （      ）。

14. 计算：$(a+4)(a-4) = $ （      ）。

15. 已知 $x^2 - kx + 9$ 是一个完全平方式，则常数 $k = $ （      ）。

16. 一种计算机每秒可做 $4 \times 10^8$ 次运算，它工作 $5 \times 10^2$ 秒可做 （      ） 次运算。（用科学记数法表示）

三、计算题（共32分）

17. （12分）计算：

（1）$a^5 \cdot a^3 \cdot a$

（2）$(3xy^2)^2$

（3）$(2x+1)(x-4)$

（4）$(3a-2b)^2$

18. （10分）先化简，再求值：$(2x+1)(2x-1) - (x+3)^2$，其中 $x = \frac{1}{2}$。

19. （10分）计算：

（1）$(12a^3b^2 - 6a^2b + 3ab) \div 3ab$

（2）$(x+2y)(x-2y) - (x-y)^2$

四、解答题（共20分）

20. （10分）如图所示（此处描述图形：一个正方形，边长为 $a$；四个角各剪去一个边长为 $b$ 的小正方形，$b < \frac{a}{2}$），将一张边长为 $a$ 的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为 $b$ 的小正方形，剩余部分可以折成一个无盖的长方体盒子。

（1）用含 $a$， $b$ 的代数式表示这个无盖长方体盒子的底面积。

（2）用含 $a$， $b$ 的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积。

（3）当 $a = 20$ cm， $b = 4$ cm 时，求这个盒子的容积。

21. （10分）观察下列等式：

$1 \times 3 = 2^2 - 1$，

$2 \times 4 = 3^2 - 1$，

$3 \times 5 = 4^2 - 1$，

$4 \times 6 = 5^2 - 1$，

……

（1）请你按照以上规律写出第 $n$ 个等式：

（      ） $=$ （      ）。

（2）请证明你写出的等式成立。

（3）计算：$2023 \times 2025 - 2024^2$。