初中数学全等手拉手模型专题练习

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（共10题）

根据手拉手模型的基本图形与性质填空：

二、选择题（共6题）

1. 下列各组图形中，一定能构成手拉手模型的是（______）

A. 两个共顶点的任意三角形

B. 两个共顶点的全等三角形

C. 两个共顶点且顶角相等的等腰三角形

D. 两个共顶点的直角三角形

2. 如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 都是等边三角形，且点 $B$、$C$、$E$ 在同一直线上，连接 $AD$。则下列结论错误的是（______）

A. $\triangle ACD \cong \triangle BCE$

B. $AD = BE$

C. $\angle AOB = 60^\circ$（点O为 $AD$ 与 $BC$ 交点）

D. $AC$ // $DE$

3. 在手拉手模型中，已知两个等腰三角形的腰长分别为5和3，公共顶角为 $50^\circ$，则两条拉手线（______）

A. 长度相等，夹角为 $50^\circ$

B. 长度不相等，夹角为 $50^\circ$

C. 长度相等，夹角为 $130^\circ$

D. 长度相等，夹角无法确定

4. 如图，以 $\triangle ABC$ 的边 $AB$、$AC$ 为边向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$，连接 $BG$、$CE$。则下列结论正确的是（______）

A. $BG = CE$

B. $BG \perp CE$

C. $\triangle ABG \cong \triangle ACE$

D. 以上答案都正确

5. 下列条件中，不能证明手拉手模型中拉手线所在三角形全等的是（______）

A. SAS

B. ASA

C. SSS

D. AAS

6. 如图，$\triangle OAB$ 和 $\triangle OCD$ 中，$OA=OB$，$OC=OD$，$\angle AOB = \angle COD = \alpha$，连接 $AC$、$BD$ 交于点 $M$。则 $\angle AMB$ 的大小为（______）

A. $\alpha$

B. $180^\circ - \alpha$

C. $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$

D. 与 $\alpha$ 无关，恒为 $60^\circ$

三、证明题（共3题）

1. 如图，点 $C$ 为线段 $AB$ 上一点，$\triangle ACM$ 和 $\triangle CBN$ 都是等边三角形，连接 $AN$ 交 $CM$ 于点 $E$，连接 $BM$ 交 $CN$ 于点 $F$。求证：

（1）$\triangle ACN \cong \triangle MCB$；

（2）$CE = CF$。

证明：

（1）

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________________________________________

（2）

________________________________________

________________________________________

2. 如图，$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 边上一点（不与 $B$、$C$ 重合），以 $AD$ 为边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$，连接 $CF$。求证：$CF \perp BC$。

证明：

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________________________________________

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3. 如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形，$\angle BAC = \angle DAE = 90^\circ$，点 $B$、$C$、$D$ 在同一直线上。连接 $CE$。

（1）求证：$BD = CE$；

（2）试判断 $BD$ 与 $CE$ 的位置关系，并说明理由。

证明与解答：

（1）

________________________________________

________________________________________

（2）

________________________________________

________________________________________

四、计算题（共2题）

1. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 外，满足 $\angle ADC = 30^\circ$，且 $\triangle ABD$ 是由 $\triangle ACD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到的（构成手拉手模型）。已知 $AD = 4$，求 $BC$ 的长度。

解：

________________________________________

________________________________________

答：________________________________________

2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$\triangle ADC$ 是顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形，即 $AD = CD$，$\angle ADC = 120^\circ$。连接 $BD$。

（1）求 $\angle ADB$ 的度数；

（2）若 $AB = 6$，$AD = 2$，求线段 $BD$ 的长。

解：

（1）

________________________________________

（2）

________________________________________

答：（1）______度；（2）______。

五、综合探究题（共1题）

1. 手拉手模型可以推广到任意两个相似三角形共顶点的情况。如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中，$\angle BAC = \angle DAE$，$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = k$（$k > 0$）。连接 $BD$、$CE$。

（1）求证：$\triangle ABD \sim \triangle ACE$；

（2）求 $\frac{BD}{CE}$ 的值；

（3）若 $\angle BAC = \alpha$，探究 $BD$ 与 $CE$ 所在直线的夹角 $\beta$ 与 $\alpha$ 的数量关系。

探究与解答：

（1）证明：

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（2）解：

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（3）解：

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答：（2）______；（3）关系为：______。