北师大版八年级数学上册期中考试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题，作图题使用铅笔。

3. 保持卷面整洁，严禁使用涂改液。

4. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填写在题后的括号内。

1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（______）

A. 2, 3, 4 B. 3, 4, 5 C. 4, 5, 6 D. 5, 6, 7

2. 实数 $\sqrt{2}$ 是（______）

A. 整数 B. 分数 C. 无理数 D. 有理数

3. 点 $P(3, -2)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（______）

A. $(-3, -2)$ B. $(3, 2)$ C. $(-3, 2)$ D. $(2, -3)$

4. 下列计算正确的是（______）

A. $\sqrt{4} = \pm 2$ B. $\sqrt[3]{-8} = -2$ C. $\sqrt{9} = -3$ D. $-\sqrt{16} = 4$

5. 如图，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 3$，$BC = 4$，则 $AB$ 的长为（______）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6. 点 $M(2, -3)$ 到 $x$ 轴的距离是（______）

A. 2 B. 3 C. $-3$ D. 5

7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则斜边上的高为（______）

A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8

8. 下列实数中，属于无理数的是（______）

A. $\frac{22}{7}$ B. $0$ C. $\pi$ D. $\sqrt{9}$

9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(1, 2)$，将点 $A$ 向右平移 3 个单位长度后得到点 $B$，则点 $B$ 的坐标为（______）

A. $(4, 2)$ B. $(1, 5)$ C. $(-2, 2)$ D. $(1, -1)$

10. 已知 $\sqrt{x-2} + |y+3| = 0$，则 $x+y$ 的值为（______）

A. $-1$ B. $1$ C. $5$ D. $-5$

二、填空题（共6题，每题3分，共18分）

请将答案填写在题中的横线上。

11. 计算：$\sqrt{25} - \sqrt[3]{8} = $ ______

12. 在平面直角坐标系中，点 $P(-3, 4)$ 到原点的距离是 ______

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$，$AC = 12$，$BC = 5$，则 $\angle C = $ ______ 度。

14. 比较大小：$\sqrt{7}$ ______ 3（填“>”、“<”或“=”）

15. 若点 $A(a, 3)$ 与点 $B(-2, b)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a+b = $ ______

16. 如图，将一根 25 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 cm、6 cm 和 10 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ______ cm。

三、解答题（共6题，共52分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）计算下列各式：

（1）$\sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{2}$

解：

（2）$(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$

解：

18.（8分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 15$，$AC = 13$，高 $AD = 12$，求 $BC$ 的长。

解：

19.（8分）在平面直角坐标系中，已知点 $A(2, 1)$，$B(-1, 3)$，$C(0, -2)$。

（1）在坐标系中描出点 $A$、$B$、$C$ 的位置；

（2）求出 $\triangle ABC$ 的面积。

解：

20.（8分）已知 $2a+1$ 的平方根是 $\pm 3$，$3a+b-1$ 的立方根是 2，求 $a+b$ 的值。

解：

21.（10分）如图，一架 2.5 m 长的梯子 $AB$ 斜靠在一竖直的墙 $AC$ 上，这时 $B$ 到墙底端 $C$ 的距离为 0.7 m。如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么梯子底端将外移多少米？

解：

22.（10分）在平面直角坐标系中，已知点 $A(0, 3)$，$B(4, 0)$，$C(4, 3)$。

（1）求线段 $AB$ 的长；

（2）求四边形 $OACB$ 的面积；

（3）在 $x$ 轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PAB$ 是等腰三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：

参考答案

一、选择题

1. B   2. C   3. A   4. B   5. A   6. B   7. A   8. C   9. A   10. A

二、填空题

11. 3   12. 5   13. 90   14. <   15. -5   16. 5

三、解答题

17. 解：

（1）$\sqrt{18} + \sqrt{32} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

（2）$(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

18. 解：

在 Rt$\triangle ABD$ 中，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$

在 Rt$\triangle ACD$ 中，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$

若 $\angle C$ 为锐角，则 $BC = BD + CD = 14$；若 $\angle C$ 为钝角，则 $BC = BD - CD = 4$。

通常考虑锐角情况，$BC = 14$。

19. 解：

（1）描点略。

（2）利用割补法，$\triangle ABC$ 的面积 = 矩形面积减去三个直角三角形面积。

矩形顶点为 $(-1, 3)$、$(2, 3)$、$(2, -2)$、$(-1, -2)$，面积 $= 3 \times 5 = 15$。

三个直角三角形面积分别为 $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$，$\frac{1}{2} \times 3 \times 5 = 7.5$，$\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$。

$\triangle ABC$ 的面积 $= 15 - 3 - 7.5 - 1 = 3.5$。

20. 解：

由题意，$2a+1 = 9$，解得 $a = 4$。

$3a+b-1 = 8$，即 $12+b-1 = 8$，解得 $b = -3$。

$a+b = 4 + (-3) = 1$。

21. 解：

在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = 2.4$ m。

顶端下滑 0.4 m 后，$A'C = 2.4 - 0.4 = 2.0$ m。

在 Rt$\triangle A'B'C$ 中，$B'C = \sqrt{A'B'^2 - A'C^2} = \sqrt{2.5^2 - 2.0^2} = 1.5$ m。

梯子底端外移距离 $BB' = B'C - BC = 1.5 - 0.7 = 0.8$ m。

22. 解：

（1）$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$。

（2）四边形 $OACB$ 是直角梯形，上底 $OA=3$，下底 $BC=3$，高 $OB=4$，面积 $= \frac{1}{2} \times (3+3) \times 4 = 12$。

（3）存在。设 $P(m, 0)$。

① 当 $PA = PB$ 时，$\sqrt{m^2 + 9} = \sqrt{(m-4)^2 + 0}$，解得 $m = \frac{7}{8}$，$P(\frac{7}{8}, 0)$。

② 当 $PA = AB$ 时，$\sqrt{m^2 + 9} = 5$，解得 $m = \pm 4$，$P(4, 0)$ 或 $P(-4, 0)$，其中 $P(4, 0)$ 与点 $B$ 重合，舍去。

③ 当 $PB = AB$ 时，$\sqrt{(m-4)^2} = 5$，解得 $m = -1$ 或 $m = 9$，$P(-1, 0)$ 或 $P(9, 0)$。

综上，点 $P$ 的坐标为 $(\frac{7}{8}, 0)$，$(-4, 0)$，$(-1, 0)$，$(9, 0)$。

评分标准： 选择题每题3分，填空题每题3分，解答题按步骤给分，具体分值分配见各题标注。