高一数学综合测试题
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共12题，每题5分） 1. 已知集合 A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } A = \{x \mid -2 < x \leq 3\} A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } ，B = { x ∣ x ≥ 1 } B = \{x \mid x \geq 1\} B = { x ∣ x ≥ 1 } ，则 A ∩ B = A \cap B = A ∩ B = （______）
A. [ 1 , 3 ] [1, 3] [ 1 , 3 ] B. ( 1 , 3 ] (1, 3] ( 1 , 3 ] C. [ 1 , 3 ) [1, 3) [ 1 , 3 ) D. ( 1 , 3 ) (1, 3) ( 1 , 3 )
2. 设集合 M = { x ∣ x 2 − 3 x + 2 = 0 } M = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} M = { x ∣ x 2 − 3 x + 2 = 0 } ，N = { x ∣ x 2 − 5 x + 6 = 0 } N = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\} N = { x ∣ x 2 − 5 x + 6 = 0 } ，则 M ∪ N = M \cup N = M ∪ N = （______）
A. { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} { 1 , 2 , 3 } B. { 1 , 2 } \{1, 2\} { 1 , 2 } C. { 2 , 3 } \{2, 3\} { 2 , 3 } D. { 1 , 3 } \{1, 3\} { 1 , 3 }
3. 命题“∀ x ∈ R \forall x \in \mathbb{R} ∀ x ∈ R ，x 2 + 1 ≥ 1 x^2 + 1 \geq 1 x 2 + 1 ≥ 1 ”的否定是（______）
A. ∀ x ∈ R \forall x \in \mathbb{R} ∀ x ∈ R ，x 2 + 1 < 1 x^2 + 1 < 1 x 2 + 1 < 1 B. ∃ x ∈ R \exists x \in \mathbb{R} ∃ x ∈ R ，x 2 + 1 ≤ 1 x^2 + 1 \leq 1 x 2 + 1 ≤ 1 C. ∃ x ∈ R \exists x \in \mathbb{R} ∃ x ∈ R ，x 2 + 1 < 1 x^2 + 1 < 1 x 2 + 1 < 1 D. ∀ x ∈ R \forall x \in \mathbb{R} ∀ x ∈ R ，x 2 + 1 ≤ 1 x^2 + 1 \leq 1 x 2 + 1 ≤ 1
4. 已知 a > b a > b a > b ，则下列不等式成立的是（______）
A. a 2 > b 2 a^2 > b^2 a 2 > b 2 B. 1 a < 1 b \frac{1}{a} < \frac{1}{b} a 1 < b 1 C. a c > b c ac > bc a c > b c D. a + c > b + c a + c > b + c a + c > b + c
5. 不等式 x 2 − 5 x + 6 < 0 x^2 - 5x + 6 < 0 x 2 − 5 x + 6 < 0 的解集是（______）
A. { x ∣ x < 2 或 x > 3 } \{x \mid x < 2 \text{ 或 } x > 3\} { x ∣ x < 2 或 x > 3 } B. { x ∣ 2 < x < 3 } \{x \mid 2 < x < 3\} { x ∣ 2 < x < 3 } C. { x ∣ x < − 3 或 x > − 2 } \{x \mid x < -3 \text{ 或 } x > -2\} { x ∣ x < − 3 或 x > − 2 } D. { x ∣ − 3 < x < − 2 } \{x \mid -3 < x < -2\} { x ∣ − 3 < x < − 2 }
6. 函数 f ( x ) = x − 1 + 1 x − 2 f(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2} f ( x ) = x − 1 + x − 2 1 的定义域为（______）
A. [ 1 , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) [1, 2) \cup (2, +\infty) [ 1 , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) B. ( 1 , + ∞ ) (1, +\infty) ( 1 , + ∞ ) C. [ 1 , + ∞ ) [1, +\infty) [ 1 , + ∞ ) D. ( 1 , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) (1, 2) \cup (2, +\infty) ( 1 , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ )
7. 已知函数 f ( x ) = { x + 1 , x ≤ 0 x 2 , x > 0 f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases} f ( x ) = { x + 1 , x 2 , x ≤ 0 x > 0 ，则 f ( f ( − 1 ) ) = f(f(-1)) = f ( f ( − 1 )) = （______）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
8. 下列函数中，既是奇函数又在 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) ( 0 , + ∞ ) 上单调递增的是（______）
A. y = x 2 y = x^2 y = x 2 B. y = 1 x y = \frac{1}{x} y = x 1 C. y = x 3 y = x^3 y = x 3 D. y = ∣ x ∣ y = |x| y = ∣ x ∣
9. 已知 f ( x ) = a x 2 + b x + 1 f(x) = ax^2 + bx + 1 f ( x ) = a x 2 + b x + 1 是偶函数，且 f ( 1 ) = 3 f(1) = 3 f ( 1 ) = 3 ，则 a + b = a + b = a + b = （______）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 不等式 x − 1 x + 2 ≤ 0 \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 x + 2 x − 1 ≤ 0 的解集是（______）
A. { x ∣ − 2 < x ≤ 1 } \{x \mid -2 < x \leq 1\} { x ∣ − 2 < x ≤ 1 } B. { x ∣ x < − 2 或 x ≥ 1 } \{x \mid x < -2 \text{ 或 } x \geq 1\} { x ∣ x < − 2 或 x ≥ 1 } C. { x ∣ − 2 ≤ x ≤ 1 } \{x \mid -2 \leq x \leq 1\} { x ∣ − 2 ≤ x ≤ 1 } D. { x ∣ x ≤ − 2 或 x ≥ 1 } \{x \mid x \leq -2 \text{ 或 } x \geq 1\} { x ∣ x ≤ − 2 或 x ≥ 1 }
11. 函数 y = x 2 − 2 x + 3 y = x^2 - 2x + 3 y = x 2 − 2 x + 3 在区间 [ 0 , 3 ] [0, 3] [ 0 , 3 ] 上的值域为（______）
A. [ 2 , 6 ] [2, 6] [ 2 , 6 ] B. [ 3 , 6 ] [3, 6] [ 3 , 6 ] C. [ 2 , 3 ] [2, 3] [ 2 , 3 ] D. [ 1 , 6 ] [1, 6] [ 1 , 6 ]
12. 已知 p p p ：x > 1 x > 1 x > 1 ，q q q ：x 2 > x x^2 > x x 2 > x ，则 p p p 是 q q q 的（______）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题（共8题，每题5分） 13. 已知集合 A = { 1 , 2 , 3 } A = \{1, 2, 3\} A = { 1 , 2 , 3 } ，B = { 2 , 3 , 4 } B = \{2, 3, 4\} B = { 2 , 3 , 4 } ，则 A ∪ B = A \cup B = A ∪ B = ______
14. 不等式 2 x − 3 > 0 2x - 3 > 0 2 x − 3 > 0 的解集为 ______
15. 函数 f ( x ) = 1 x − 1 f(x) = \frac{1}{x - 1} f ( x ) = x − 1 1 的单调递减区间为 ______
16. 已知 f ( x ) = x 2 + 2 x f(x) = x^2 + 2x f ( x ) = x 2 + 2 x ，则 f ( x ) f(x) f ( x ) 的对称轴方程为 ______
17. 若 a > 0 a > 0 a > 0 ，b > 0 b > 0 b > 0 ，且 a + b = 4 a + b = 4 a + b = 4 ，则 a b ab ab 的最大值为 ______
18. 命题“∃ x ∈ R \exists x \in \mathbb{R} ∃ x ∈ R ，x 2 − x + 1 < 0 x^2 - x + 1 < 0 x 2 − x + 1 < 0 ”是 ______ 命题（填“真”或“假”）
19. 函数 y = − x 2 + 4 x − 3 y = \sqrt{-x^2 + 4x - 3} y = − x 2 + 4 x − 3 的定义域为 ______
20. 已知 f ( x ) f(x) f ( x ) 是奇函数，且 f ( 2 ) = 5 f(2) = 5 f ( 2 ) = 5 ，则 f ( − 2 ) = f(-2) = f ( − 2 ) = ______
三、解答题（共4题，每题10分）
21. 已知集合 A = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≤ 0 } A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0\} A = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≤ 0 } ，B = { x ∣ 2 x − 4 ≥ 0 } B = \{x \mid 2x - 4 \geq 0\} B = { x ∣ 2 x − 4 ≥ 0 } 。
（1）求 A ∩ B A \cap B A ∩ B ；
（2）求 A ∪ B A \cup B A ∪ B 。
解：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
22. 解下列不等式：
（1）x 2 − 3 x − 4 > 0 x^2 - 3x - 4 > 0 x 2 − 3 x − 4 > 0 ；
（2）2 x + 1 x − 3 ≥ 0 \frac{2x + 1}{x - 3} \geq 0 x − 3 2 x + 1 ≥ 0 。
解：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
23. 已知函数 f ( x ) = x 2 − 2 a x + 3 f(x) = x^2 - 2ax + 3 f ( x ) = x 2 − 2 a x + 3 ，x ∈ [ − 1 , 2 ] x \in [-1, 2] x ∈ [ − 1 , 2 ] 。
（1）当 a = 1 a = 1 a = 1 时，求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的最小值；
（2）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间 [ − 1 , 2 ] [-1, 2] [ − 1 , 2 ] 上的最大值。
解：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
24. 已知函数 f ( x ) = a x + b x 2 + 1 f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 a x + b 是定义在 ( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) 上的奇函数，且 f ( 1 2 ) = 2 5 f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} f ( 2 1 ) = 5 2 。
（1）求 a a a ，b b b 的值；
（2）判断 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 ( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) 上的单调性，并用定义证明。
解：
（1）________________________________________
（2）________________________________________