南京中考数学复习卷
南京中考数学复习卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 题号 一 二 三 总分 分数 注意事项： 1. 本试卷共3页，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。 3. 作图必须用
试卷正文
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（满分：120分 考试时间：120分钟）
姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
| 分数 |
注意事项：
1. 本试卷共3页，满分120分，考试时间120分钟。
2. 答案一律写在答题卡上，写在试卷上无效。
3. 作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
4. 答题前，请务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷及答题卡的规定位置。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 数轴上表示-3的点到原点的距离是（ ）
A. -3 B. 3 C. $\frac{1}{3}$ D. $-\frac{1}{3}$
2. 下列计算正确的是（ ）
A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $(2a)^3 = 6a^3$ D. $a^8 \div a^2 = a^6$
3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 6，7，10
4. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 三棱柱
5. 某学习小组6名同学在一次数学测试中的成绩分别为：85，90，78，85，92，88。这组数据的中位数是（ ）
A. 85 B. 86.5 C. 87 D. 88
6. 如图，点A是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ($k<0$) 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA。若 $\triangle AOB$ 的面积为3，则k的值为（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 4的算术平方根是 。
8. 因式分解：$x^2 - 9 =$ 。
9. 据国家统计局公布，2023年全国粮食总产量约为695410000吨。将数据695410000用科学记数法表示为 。
10. 若分式 $\frac{1}{x-2}$ 有意义，则实数x的取值范围是 。
11. 若 $x=1$ 是关于x的一元二次方程 $x^2 + ax - 2 = 0$ 的一个根，则a的值为 。
12. 正六边形的外角和是 °。
13. 如图，直线a//b，直线c与a，b分别相交于A，B两点。若 $\angle 1 = 50^\circ$，则 $\angle 2 =$ °。
14. 已知一次函数 $y = (k-3)x + 2$，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 。
15. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D。若AB=8cm，CD=2cm，则⊙O的半径为 cm。
16. 如图，将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边上的点E处，折痕为AF。若BE=2，则 $\tan \angle EAF =$ 。
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17. （7分）计算：$(-1)^{2024} + |\sqrt{3}-2| - (π-3)^0 + (\frac{1}{2})^{-2}$。
18. （7分）解不等式组 $\begin{cases} 2x-1 > x+1 \\ \frac{x+8}{3} \ge x \end{cases}$，并写出它的所有整数解。
19. （8分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD。
(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形。
(2) 若AC⊥BD，且AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积。
20. （7分）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选一项），并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图。
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根据以上信息，解答下列问题：
(1) 本次被调查的学生共有 人。
(2) 补全条形统计图。
(3) 在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为 °。
21. （8分）为了解某校八年级学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了50名学生进行调查，按每周课外阅读时间t（单位：小时）分成A（$0 \le t < 2$），B（$2 \le t < 4$），C（$4 \le t < 6$），D（$t \ge 6$）四组，整理后绘制成如下频数分布直方图。已知C组的人数为15。
(1) 补全频数分布直方图。
(2) 求样本中每周课外阅读时间在4小时及以上的学生人数所占的百分比。
(3) 若该校八年级共有600名学生，请估计每周课外阅读时间在2小时及以上的学生人数。
22. （7分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，游戏规则是：第一次传球由甲将球随机地传给乙或丙中的一人，以后的每一次传球都由持球者随机地传给其他两人中的一人。
(1) 请用画树状图或列表的方法，求两次传球后，球又回到甲手中的概率。
(2) 三次传球后，球在谁手中的可能性最大？请判断并说明理由。
23. （8分）如图，小明在教学楼A处测得对面办公楼CD顶部的仰角为 $30^\circ$，底部D的俯角为 $45^\circ$。已知两栋楼的水平距离BD为20米。
(1) 求教学楼AB的高度。（结果保留根号）
(2) 求办公楼CD的高度。（结果保留根号）
24. （8分）某商店销售一种进价为20元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系：$y = -2x + 80$ ($20 \le x \le 40$)。
(1) 设该商店每天销售这种商品的利润为w元，求w与x之间的函数关系式。
(2) 该商品销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25. （8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接AD。
(1) 求证：DE⊥AE。
(2) 若AB=10，AC=6，求线段CD的长。
26. （9分）已知二次函数 $y = x^2 - 2mx + m^2 - 1$（m为常数）。
(1) 求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）。
(2) 求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个交点。
(3) 若点 $A(x_1， y_1)$， $B(x_2， y_2)$ 在该函数图象上，且 $x_1 < 1 < x_2$，比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由。
27. （11分）问题情境：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。点P是边AD上一动点，将 $\triangle ABP$ 沿直线BP折叠，点A的对应点为点A‘。
操作发现：
(1) 如图1，当点A‘落在边BC上时，求AP的长。
深入探究：
(2) 当点P从点A向点D运动过程中，连接A‘C。
① 如图2，若点A’落在矩形内部，且点A‘，C，D三点恰好在同一直线上，求此时AP的长。
② 当 $\triangle A'BC$ 是等腰三角形时，请直接写出AP的长。
图1 |
图2 |
参考答案
一、选择题
1. B
解析：绝对值表示点到原点的距离，$|-3|=3$。
2. D
解析：A.$a^2 \cdot a^3 = a^5$；B.$(a^2)^3 = a^6$；C.$(2a)^3 = 8a^3$；D.$a^8 \div a^2 = a^6$ 正确。
3. D
解析：三角形三边关系：两边之和大于第三边。A.3+4<8；B.5+6=11；C.4+4=8；D.6+7>10，6+10>7，7+10>6，能组成三角形。
4. B
解析：主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，符合圆柱的三视图特征。
5. B
解析：将数据从小到大排列：78，85，85，88，90，92。中位数是第三和第四个数的平均数，$\frac{85+88}{2}=86.5$。
6. A
解析：$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3$，所以 $|k|=6$。因为 $k<0$，所以 $k=-6$。
二、填空题
7. 2
解析：$\sqrt{4}=2$。
8. $(x+3)(x-3)$
解析：平方差公式：$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$。
9. $6.9541 \times 10^8$
解析：$695410000 = 6.9541 \times 10^8$。
10. $x \ne 2$
解析：分式有意义，分母不为零：$x-2 \ne 0$，即 $x \ne 2$。
11. 1
解析：将 $x=1$ 代入方程得：$1^2 + a \times 1 - 2 = 0$，解得 $a=1$。
12. 360
解析：任意多边形的外角和都是 $360^\circ$。
13. 130
解析：如图，$\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是邻补角。因为 $a // b$，所以 $\angle 1$ 的同位角等于 $50^\circ$，则 $\angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。
14. $k < 3$
解析：一次函数 $y=kx+b$，当 $k<0$ 时y随x增大而减小。所以 $k-3 < 0$，解得 $k < 3$。
15. 5
解析：连接OA。由垂径定理，$AD = \frac{1}{2}AB = 4$cm。设半径为 $r$ cm，则 $OD = (r-2)$ cm。在Rt$\triangle OAD$中，由勾股定理得：$(r-2)^2 + 4^2 = r^2$，解得 $r=5$。
16. $\frac{1}{2}$
解析：由折叠知，$EF = DF$，$AF=AF$，$\angle AEF = \angle D = 90^\circ$。设 $DF = EF = x$，则 $CF = 6 - x$。在Rt$\triangle EBF$中，$BE=2$，$BF=6-x$，$EF=x$，由勾股定理：$2^2 + (6-x)^2 = x^2$，解得 $x=\frac{10}{3}$。所以 $DF=\frac{10}{3}$，$AE=AD=6$。在Rt$\triangle AEF$中，$\tan \angle EAF = \frac{EF}{AE} = \frac{10/3}{6} = \frac{5}{9}$。
（注：本题也可通过 $\angle EAF = \angle DAF$，在Rt$\triangle ADF$中求解：$AD=6$，$DF=10/3$，$\tan \angle DAF = DF/AD = 5/9$）
三、解答题
17. 解：原式 $= 1 + (2 - \sqrt{3}) - 1 + 4$ （4分）
$= 1 + 2 - \sqrt{3} - 1 + 4$
$= 6 - \sqrt{3}$。 （7分）
18. 解：解不等式 $2x-1 > x+1$，得 $x > 2$。 （2分）
解不等式 $\frac{x+8}{3} \ge x$，得 $x \le 4$。 （4分）
∴不等式组的解集为 $2 < x \le 4$。 （6分）
∴它的所有整数解为 3， 4。 （7分）
19. （1）证明：∵ $AB // CD$，
∴ $\angle ABD = \angle CDB$。 （1分）
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CDB$ 中，
$\begin{cases} AB = CD \\ \angle ABD = \angle CDB \\ BD = DB \end{cases}$
∴ $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ (SAS)。 （3分）
∴ $AD = BC$。
又 ∵ $AB = CD$，
∴四边形ABCD是平行四边形。 （4分）
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且 $AC \perp BD$，
∴四边形ABCD是菱形。 （6分）
∴ $S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$。 （8分）
20. 解：（1）100 （2分）
解析：由条形图知喜欢篮球的有40人，由扇形图知占40%，所以总人数为 $40 \div 40\% = 100$ 人。
（2）补全条形图如下（足球30人已标出）： （4分）
（3）36 （7分）
解析：乒乓球占 $\frac{10}{100}=10\%$，圆心角为 $360^\circ \times 10\% = 36^\circ$。
21. 解：（1）补全直方图（D组频数为5）。 （2分）
（2）C组和D组总人数为 $15+5=20$ 人。
所占百分比为 $\frac{20}{50} \times 100\% = 40\%$。 （5分）
（3）A组10人，则B、C、D组总人数为 $50-10=40$ 人，占样本的 $\frac{40}{50}=80\%$。
估计八年级600名学生中，每周阅读时间在2小时及以上的约有 $600 \times 80\% = 480$ 人。 （8分）
22. 解：（1）画树状图如下：
（甲 -> 乙 -> 甲；甲 -> 乙 -> 丙；甲 -> 丙 -> 甲；甲 -> 丙 -> 乙）
共有4种等可能结果，其中球回到甲手中的有2种。
∴ $P(\text{球回甲手}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。 （4分）
（2）球在乙或丙手中的可能性最大。 （5分）
理由：由树状图可知，三次传球后，球在甲手中有2种情况，在乙手中有3种情况，在丙手中有3种情况（或通过概率计算：甲 $\frac{2}{8}$，乙 $\frac{3}{8}$，丙 $\frac{3}{8}$）。所以在乙或丙手中的可能性最大。 （7分）
23. 解：（1）在Rt$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 45^\circ$，$BD=20$米。
∴ $AB = BD \cdot \tan 45^\circ = 20 \times 1 = 20$ (米)。
答：教学楼AB高20米。 （3分）
（2）在Rt$\triangle ACE$中，$\angle CAE = 30^\circ$，$AE = BD = 20$米。
∴ $CE = AE \cdot \tan 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ (米)。 （6分）
∴ $CD = CE + DE = \frac{20\sqrt{3}}{3} + 20 = 20 + \frac{20\sqrt{3}}{3}$ (米)。
答：办公楼CD高为 $(20 + \frac{20\sqrt{3}}{3})$ 米。 （8分）
24. 解：（1）由题意，每件利润为 $(x-20)$ 元，每天销售 $(-2x+80)$ 件。
∴ $w = (x-20)(-2x+80) = -2x^2 + 120x - 1600$。 （3分）
（2）$w = -2(x^2 - 60x) - 1600 = -2(x-30)^2 + 200$。 （6分）
∵ $-2 < 0$，
∴当 $x=30$ 时，w有最大值，最大值为200。
答：销售单价定为30元时，每天利润最大，最大利润为200元。 （8分）
25. （1）证明：连接OD。
∵DE是⊙O的切线，
∴ $OD \perp DE$。 （1分）
∵D是 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DC}$，
∴ $\angle BAD = \angle CAD$，即AD平分 $\angle BAC$。 （2分）
又 ∵ $OA=OD$，
∴ $\angle OAD = \angle ODA$，
∴ $\angle CAD = \angle ODA$，
∴ $OD // AE$。 （3分）
∴ $DE \perp AE$。 （4分）
（2）解：连接BC。
∵AB是直径，
∴ $\angle ACB = 90^\circ$。
在Rt$\triangle ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得 $BC=8$。 （5分）
由（1）知 $\angle BAD = \angle CAD$，即AD平分 $\angle CAB$。
∴ $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$。 （6分）
连接BD，CD。在Rt$\triangle BCD$中，$BC=8$，设 $BD=5k$，$DC=3k$，则 $(5k)^2 + (3k)^2 = 8^2$，解得 $k = \frac{8}{\sqrt{34}} = \frac{4\sqrt{34}}{17}$。
∴ $CD = 3k = \frac{12\sqrt{34}}{17}$。 （8分）
（其它解法，如利用相似三角形 $\triangle ABD \sim \triangle AED$ 等，亦可）
26. 解：（1）$y = x^2 - 2mx + m^2 - 1 = (x - m)^2 - 1$。
∴顶点坐标为 $(m， -1)$。 （2分）
（2）令 $y=0$，得 $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$。
判别式 $\Delta = (-2m)^2 - 4 \times 1 \times (m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 > 0$。
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，即图象与x轴总有两个交点。 （5分）
（3）$y_1 > y_2$。 （6分）
理由：由（1）知抛物线对称轴为直线 $x = m$，开口向上。
∵ $x_1 < 1 < x_2$，且 $y_1$， $y_2$ 的大小关系与对称轴位置有关。
当 $m \le 1$ 时，点 $A(x_1， y_1)$ 和 $B(x_2， y_2)$ 在对称轴右侧或分居两侧，但 $x_1$ 离对称轴可能更远，需分类讨论，结论不恒成立。
（本题需补充条件或调整。标准中考思路：通常给出对称轴或 $x_1$， $x_2$ 与对称轴的具体位置关系进行比较。此处为保持原题，给出一种可能推理：）
实际上，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远的点，函数值越大。已知 $x_1 < 1 < x_2$，若对称轴 $x=m \le 1$，则 $x_2$ 到对称轴的距离可能大于 $x_1$ 到对称轴的距离，则 $y_2 > y_1$；若 $m \ge 1$，则 $y_1 > y_2$。题目未确定m的范围，故无法直接比较。原题可能意图是考察二次函数的增减性，需根据对称轴与1的位置关系分类讨论。 （9分）
（注：此题为开放讨论，根据教学要求，学生能结合开口方向和对称轴进行分析即可得分。）
27. 解：（1）如图1，由折叠知，$A'B=AB=6$，$A'P=AP$，$\angle BA'P = \angle A = 90^\circ$。
在Rt$\triangle A'BC$中，$A'B=6$，$BC=8$，由勾股定理得 $A'C=\sqrt{BC^2 - A'B^2} = \sqrt{8^2-6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
∴ $A'D = DC - A'C = 6 - 2\sqrt{7}$。
设 $AP = A'P = x$，则 $PD = 8 - x$。
在Rt$\triangle A'DP$中，由勾股定理：$(A'D)^2 + (A'P)^2 = PD^2$。
即 $(6 - 2\sqrt{7})^2 + x^2 = (8-x)^2$。
解得 $x = AP = 8\sqrt{7} - 14$。
答：AP的长为 $8\sqrt{7} - 14$。 （3分）
（2）① 如图2，当 $A'$， $C$， $D$ 共线时，由折叠知 $\triangle ABP \cong \triangle A'BP$，$A'B=AB=6$。
易证 $\triangle A'BP \sim \triangle DCP$。
设 $AP = A'P = x$，则 $PD = 8 - x$，$A'D = A'C - DC