九年级数学二次函数综合大题

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一、综合题（共8题）

1. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$。

（1）求 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点的坐标；

（2）求四边形 $ABCD$ 的面积；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PBC$ 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD \perp x$ 轴于点 $D$，交 $BC$ 于点 $E$。求线段 $PE$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle PBC$ 面积的最大值。

3. 已知抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$。

（1）求点 $A$、$B$、$C$、$D$ 的坐标；

（2）点 $M$ 是线段 $BC$ 上的一个动点（不与 $B$、$C$ 重合），过点 $M$ 作 $MN \parallel y$ 轴，交抛物线于点 $N$。求线段 $MN$ 的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $MN$ 取得最大值时，求 $\triangle BCN$ 的面积。

4. 如图，抛物线 $y = x^2 - 4x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求 $\triangle ABC$ 的面积；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点，且在 $x$ 轴上方，当 $\triangle PAB$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 的面积时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle PAB$ 的周长。

5. 已知抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（2）点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $PA + PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标；

（3）求 $PA + PC$ 的最小值。

6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx - 3$ 经过点 $A(-2,0)$ 和点 $B(4,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是直线 $BC$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PF \perp x$ 轴于点 $F$，交 $BC$ 于点 $E$。求 $\triangle PBC$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点 $P$ 到直线 $BC$ 的最大距离。

7. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心坐标；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点，当 $\angle PAB = 45^\circ$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle PAB$ 的面积。

8. 如图，抛物线 $y = -x^2 + 2x + 8$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$。

（1）求点 $A$、$B$、$C$、$D$ 的坐标；

（2）点 $M$ 是线段 $BC$ 上的一个动点（不与 $B$、$C$ 重合），过点 $M$ 作 $MN \parallel y$ 轴，交抛物线于点 $N$。求 $\triangle BCN$ 面积的最大值；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle BCN$ 面积取得最大值时点 $M$ 的坐标。