北师大版初中数学八年级下册第四章第一节因式分解练习题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（每空2分，共20分）

1. 因式分解：$3x^2 - 6x = $ ______。

2. 因式分解：$a^2 - 9b^2 = $ ______。

3. 因式分解：$x^2 + 6x + 9 = $ ______。

4. 因式分解：$4x^2 - 20xy + 25y^2 = $ ______。

5. 多项式 $2m(a-b) - 3n(b-a)$ 的公因式是 ______。

6. 若 $x+y=5$，$xy=6$，则 $x^2y + xy^2$ 的值为 ______。

7. 利用因式分解计算：$2024^2 - 2023^2 = $ ______。

8. 若 $x^2 - kx + 49$ 是一个完全平方式，则常数 $k = $ ______。

9. 边长分别为 $a$ 和 $b$ 的两个正方形并排放在一起，则图中阴影部分（一个以 $a$ 和 $b$ 为直角边的直角三角形）的面积可以表示为 ______。（用含 $a, b$ 的代数式表示，并化为最简形式）

10. 已知 $a+b=3$，$ab=2$，则代数式 $a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$ 的值为 ______。

二、解答题（第1-4题每题6分，第5题8分，第6题9分，共41分）

1. 将下列多项式分解因式：

(1) $5x^2y - 10xy^2$

解：________________________________________

(2) $16m^2 - 25n^2$

解：________________________________________

(3) $-3a^2 + 12ab - 12b^2$

解：________________________________________

2. 利用因式分解进行简便计算：

(1) $7.6 \times 202.4 + 7.6 \times 197.6$

解：________________________________________

(2) $101^2 - 99^2$

解：________________________________________

3. 先分解因式，再求值：

已知 $x = \frac{1}{2}$，$y = -\frac{1}{3}$，求 $4x^2 - 12xy + 9y^2$ 的值。

解：________________________________________

4. 已知 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a+c) = 0$，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由。

解：________________________________________

5. 综合运用：

阅读下列材料，解答问题：

对于二次三项式 $x^2 + 2ax + a^2$，可以直接用完全平方公式分解为 $(x+a)^2$。

但对于 $x^2 + 2ax - 3a^2$，就不能直接用公式了。我们可以采用如下方法：

$x^2 + 2ax - 3a^2 = x^2 + 2ax + a^2 - a^2 - 3a^2 = (x+a)^2 - (2a)^2 = (x+a+2a)(x+a-2a) = (x+3a)(x-a)$。

这种方法叫做“配方法”。

请利用配方法分解因式：

(1) $x^2 + 4xy - 5y^2$

(2) $m^2 - 6mn + 5n^2$

解：________________________________________

6. 探究与应用：

观察下列等式：

$1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = 5^2$

$2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = 11^2$

$3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 361 = 19^2$