线性代数期末试卷
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、填空题（共10题，每题3分） 1. 设 A A A 为 3 × 4 3 \times 4 3 × 4 矩阵，则 A A A 的列向量组的秩最大为 ______。
2. 若 n n n 阶方阵 A A A 满足 A 2 = A A^2 = A A 2 = A ，则 A A A 称为 ______ 矩阵。
3. 向量组 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( 0 , 0 , 1 ) \alpha_1 = (1,0,0), \alpha_2 = (0,1,0), \alpha_3 = (0,0,1) α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( 0 , 0 , 1 ) 是线性 ______ 的。
4. 设 A A A 为 n n n 阶可逆矩阵，则 |A^{-1}| = ______ 。
5. 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 + 3 x 3 2 f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 + 3 x 3 2 的矩阵是 ______。
6. 若 A A A 是 3 3 3 阶矩阵，且 ∣ A ∣ = 2 |A| = 2 ∣ A ∣ = 2 ，则 |2A| = ______ 。
7. 设 λ \lambda λ 是 A A A 的特征值，则 λ 2 \lambda^2 λ 2 是 A 2 A^2 A 2 的 ______。
8. 齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 A x = 0 有非零解的充要条件是 r(A) ______ n 。
9. 设 α = ( 1 , 2 , 3 ) , β = ( 4 , 5 , 6 ) \alpha = (1,2,3), \beta = (4,5,6) α = ( 1 , 2 , 3 ) , β = ( 4 , 5 , 6 ) ，则 \alpha \cdot \beta = ______ 。
10. 若 A A A 与 B B B 相似，则 A A A 与 $B\) 有相同的 ______。
二、选择题（共8题，每题4分） 1. 设 A , B A, B A , B 均为 n n n 阶方阵，下列运算正确的是（______）
A. ( A B ) T = A T B T (AB)^T = A^T B^T ( A B ) T = A T B T B. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 C. ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 D. ∣ A + B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ |A+B| = |A| + |B| ∣ A + B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣
2. 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s α 1 , α 2 , ⋯ , α s 线性无关的充要条件是（______）
A. 存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1, k_2, \cdots, k_s k 1 , k 2 , ⋯ , k s 使得 ∑ k i α i = 0 \sum k_i \alpha_i = 0 ∑ k i α i = 0 B. 任意一个向量都不能由其余向量线性表示 C. 向量组中至少有一个零向量 D. 向量组中向量的个数小于维数
3. 设 A A A 为 3 3 3 阶矩阵，∣ A ∣ = 2 |A| = 2 ∣ A ∣ = 2 ，则 ∣ A ∗ ∣ |A^*| ∣ A ∗ ∣ 等于（______）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
4. 齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 A x = 0 的基础解系中所含解向量的个数等于（______）
A. r ( A ) r(A) r ( A ) B. n − r ( A ) n - r(A) n − r ( A ) C. n n n D. m − r ( A ) m - r(A) m − r ( A )
5. 设 λ = 2 \lambda = 2 λ = 2 是 A A A 的特征值，则 A 2 A^2 A 2 的一个特征值是（______）
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
6. 下列矩阵中，不是初等矩阵的是（______）
A. ( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ( 1 0 0 1 ) B. ( 1 0 0 3 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} ( 1 0 0 3 ) C. ( 1 0 2 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} ( 1 2 0 1 ) D. ( 0 1 1 0 ) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ( 0 1 1 0 )
7. 设 A A A 为 n n n 阶对称矩阵，则 A A A 的特征值（______）
A. 都是实数 B. 都是整数 C. 都是正数 D. 都是负数
8. 二次型 f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + 4 x 1 x 2 + x 2 2 f(x_1,x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 f ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + 4 x 1 x 2 + x 2 2 的矩阵是（______）
A. ( 1 2 2 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} ( 1 2 2 1 ) B. ( 1 4 4 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} ( 1 4 4 1 ) C. ( 1 2 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ( 1 0 2 1 ) D. ( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ( 1 0 0 1 )
三、计算题（共4题，每题10分） 1. 计算行列式：∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} 1 4 7 2 5 8 3 6 9
解：________________________________________________________________________
2. 设矩阵 A = ( 1 2 3 4 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A = ( 1 3 2 4 ) ，求 A − 1 A^{-1} A − 1 。
解：________________________________________________________________________
3. 求线性方程组 { x 1 + x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 2 3 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 3 \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 2 \\ 3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x 1 + x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 2 3 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 3 的通解。
解：________________________________________________________________________
4. 求矩阵 A = ( 2 1 1 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} A = ( 2 1 1 2 ) 的特征值和特征向量。
解：________________________________________________________________________
四、证明题（共2题，每题10分） 1. 设 A A A 为 n n n 阶可逆矩阵，证明：( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T 。
证明：________________________________________________________________________
2. 设 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，证明：α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 也线性无关。
证明：________________________________________________________________________