九年级上册数学综合测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共8题，每题3分）

1. 下列函数中，是二次函数的是（______）

A. $y = 2x + 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2 - 3x$ D. $y = \sqrt{x}$

2. 抛物线 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1,2)$ B. $(-1,2)$ C. $(1,-2)$ D. $(-1,-2)$

3. 二次函数 $y = -x^2 + 4x$ 的图象开口方向是（______）

A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右

4. 方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根是（______）

A. $x_1=2, x_2=3$ B. $x_1=1, x_2=6$ C. $x_1=-2, x_2=-3$ D. $x_1=-1, x_2=-6$

5. 二次函数 $y = 2x^2$ 的图象经过点（______）

A. $(1,2)$ B. $(2,1)$ C. $(-1,-2)$ D. $(0,2)$

6. 将抛物线 $y = x^2$ 向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为（______）

A. $y = (x+2)^2$ B. $y = (x-2)^2$ C. $y = x^2 + 2$ D. $y = x^2 - 2$

7. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴的交点个数是（______）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 若二次函数 $y = ax^2$ 的图象经过点 $(-2, 8)$，则 $a$ 的值为（______）

A. 2 B. -2 C. 4 D. -4

二、填空题（共6题，每题3分）

三、解答题（共6题，共58分）

15.（8分） 解方程：$x^2 - 6x + 8 = 0$。

16.（8分） 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$。

（1）求该函数图象的顶点坐标；

（2）求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标。

解：

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17.（10分） 某商店销售一种商品，每件进价为20元。调查发现，当售价为30元时，每月可售出200件；售价每上涨1元，月销量减少10件。设售价上涨 $x$ 元，月利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

解：

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18.（10分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $AD \perp BC$ 于点 $D$。求证：$BD = CD$。

证明：

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19.（10分） 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 的中点，$F$ 是 $BC$ 上一点，且 $BF = 2FC$，连接 $EF$ 交 $AC$ 于点 $G$。求证：$\triangle AEG \sim \triangle CFG$。

证明：

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20.（12分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$CD \perp AB$ 于点 $D$，$E$ 是 $AC$ 上一点，且 $DE \parallel BC$。

（1）求证：$\triangle CDE \sim \triangle ABC$；

（2）若 $AC = 6$，$BC = 8$，求 $DE$ 的长。

证明与解：

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