高二数学期中考试

（满分：150分 考试时间：120分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡对应题号的位置；非选择题答案必须用黑色签字笔书写在答题卡各题目指定区域内。

3. 保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、弄破。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_3 = 5$，$a_7 = 13$，则公差 $d$ 等于（      ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 函数 $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的最小正周期是（      ）

A. $\pi$    B. $2\pi$    C. $\frac{\pi}{2}$    D. $4\pi$

3. 从5名男生和3名女生中选出2人参加一项活动，要求至少有1名女生，不同的选法共有（ ）

A. 13种 B. 18种 C. 28种 D. 30种

4. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）

A. $4\pi$    B. $8\pi$    C. $12\pi$    D. $16\pi$

5. 二项式 $(2x - 1)^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是（      ）

A. -40 B. 40 C. -80 D. 80

6. 已知函数 $f(x) = x^2 - 2x$，则 $f(x)$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的最小值为（      ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 3

7. 已知随机变量 $X \sim B(6, \frac{1}{3})$，则 $P(X=2)$ 等于（      ）

A. $\frac{80}{243}$    B. $\frac{40}{243}$    C. $\frac{20}{243}$    D. $\frac{10}{243}$

8. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$，则该正四棱锥的高为（      ）

A. 1    B. $\sqrt{2}$    C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$    D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）

9. 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 3$，$q = 2$，则 $a_5 =$ __________。

10. 计算：$\sin 45^\circ \cos 15^\circ + \cos 45^\circ \sin 15^\circ =$ __________。

11. 函数 $y = \log_2 (x-1)$ 的定义域是 __________。

12. 用数字1，2，3，4可以组成 __________ 个没有重复数字的三位数。

13. 已知球的表面积为 $36\pi$，则该球的体积为 __________。

14. 已知 $(x + \frac{a}{x})^6$ 的展开式中常数项为160，则实数 $a =$ __________。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15. （本小题满分12分）

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1 = 1$，$S_5 = 25$。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{a_n\}$ 的前10项和 $S_{10}$。

16. （本小题满分12分）

已知函数 $f(x) = 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1$