4. 下列说法正确的是（______）

A. 相等的角是对顶角

B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等

D. 同旁内角互补

5. 如图，要把河中的水引到水池 $A$ 中，应在河岸 $B$ 处（$AB \perp CD$）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（______）

A. 两点之间，线段最短

B. 点到直线的距离

C. 垂线段最短

D. 两点确定一条直线

二、填空题（每空2分，共16分）

三、解答题（共34分）

1. （8分）如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE$ 平分 $\angle BOD$，$\angle AOC = 70^\circ$，求 $\angle COE$ 的度数。

解：

2. （12分）如图，已知 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle C = \angle D$。求证：$\angle A = \angle F$。

证明：

3. （14分）如图，已知 $AD \perp BC$，$EF \perp BC$，垂足分别为 $D$，$F$，且 $\angle 1 = \angle 2$。

（1）试判断 $DG$ 与 $BA$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle B = 35^\circ$，求 $\angle ADG$ 的度数。

解：（1）

（2）

四、推理题（共20分）

1. （10分）完成下面的证明过程。

已知：如图，$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$，$\angle A = \angle C$。

求证：$AE \parallel FC$。

证明：∵ $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$（已知），

∴ $AB \parallel$ ______（________________________）。

∴ $\angle A = \angle$ ______（两直线平行，内错角相等）。

又∵ $\angle A = \angle C$（已知），

∴ $\angle$ ______ = $\angle C$（等量代换）。

∴ $AE \parallel FC$（________________________）。

2. （10分）如图，已知 $BE$ 平分 $\angle ABD$，$DE$ 平分 $\angle BDC$，且 $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$。求证：$AB \parallel CD$。

证明：

五、应用题（共20分）

1. （10分）台球运动中，如果母球 $P$ 击中桌边点 $A$，经桌边反弹后击中相邻桌边的点 $B$，再次反弹后击中球 $C$。根据入射角等于反射角的原理，若 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$，且 $AC \parallel BD$，$\angle 3 = 40^\circ$，那么母球 $P$ 出击的路线 $PA$ 与桌边 $MN$ 的夹角 $\angle 5$ 是多少度？

解：

2. （10分）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同。如果第一次的拐角 $\angle A = 135^\circ$，那么第二次的拐角 $\angle B$ 是多少度？为什么？

解：

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共10分）

1. C

2. C

3. B

4. B

5. C

二、填空题（每空2分，共16分）

1. $130^\circ$

2. $145^\circ$

3. 题设：两个角是同一个角的余角；结论：这两个角相等。

4. $115^\circ$

5. 平行（或 $a \parallel c$）

6. $85^\circ$

7. $75^\circ$

8. $60^\circ$

三、解答题（共34分）

1. （8分）

解：∵ $\angle AOC = 70^\circ$（已知），

∴ $\angle BOD = \angle AOC = 70^\circ$（对顶角相等）。 …………（3分）

∵ $OE$ 平分 $\angle BOD$（已知），

∴ $\angle DOE = \frac{1}{2} \angle BOD = 35^\circ$（角平分线定义）。 …………（6分）

∴ $\angle COE = \angle COD - \angle DOE = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$（邻补角定义）。 …………（8分）

（或 $\angle COE = \angle COB + \angle BOE = 110^\circ + 35^\circ = 145^\circ$）

2. （12分）

证明：∵ $\angle 1 = \angle 2$（已知），

又∵ $\angle 1 = \angle 3$（对顶角相等），

∴ $\angle 2 = \angle 3$（等量代换）。 …………（3分）

∴ $BD \parallel CE$（同位角相等，两直线平行）。 …………（5分）

∴ $\angle ABD = \angle C$（两直线平行，同位角相等）。 …………（7分）

∵ $\angle C = \angle D$（已知），

∴ $\angle ABD = \angle D$（等量代换）。 …………（9分）

∴ $AC \parallel DF$（内错角相等，两直线平行）。 …………（11分）

∴ $\angle A = \angle F$（两直线平行，内错角相等）。 …………（12分）

3. （14分）

解：（1）$DG \parallel BA$。理由如下： …………（1分）

∵ $AD \perp BC$，$EF \perp BC$（已知），

∴ $\angle ADC = \angle EFC = 90^\circ$（垂直定义）。 …………（3分）

∴ $AD \parallel EF$（同位角相等，两直线平行）。 …………（5分）

∴ $\angle 1 = \angle BAD$（两直线平行，同位角相等）。 …………（7分）

∵ $\angle 1 = \angle 2$（已知），

∴ $\angle BAD = \angle 2$（等量代换）。 …………（9分）

∴ $DG \parallel BA$（内错角相等，两直线平行）。 …………（10分）

（2）∵ $DG \parallel BA$（已证），

∴ $\angle ADG = \angle BAD$（两直线平行，内错角相等）。 …………（12分）

又∵ $\angle BAD = \angle 2 = \angle 1$，且 $\angle B = 35^\circ$，

在 Rt$\triangle ABD$ 中，$\angle BAD = 90^\circ - \angle B = 55^\circ$。

∴ $\angle ADG = 55^\circ$。 …………（14分）

四、推理题（共20分）

1. （10分，每空2分）

证明：∵ $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$（已知），

∴ $AB \parallel$ CD（同旁内角互补，两直线平行）。

∴ $\angle A = \angle$ FDC（两直线平行，内错角相等）。

又∵ $\angle A = \angle C$（已知），

∴ $\angle$ FDC = $\angle C$（等量代换）。

∴ $AE \parallel FC$（同位角相等，两直线平行）。

2. （10分）

证明：∵ $BE$ 平分 $\angle ABD$（已知），

∴ $\angle ABD = 2\angle 1$（角平分线定义）。 …………（2分）

∵ $DE$ 平分 $\angle BDC$（已知），

∴ $\angle BDC = 2\angle 2$（角平分线定义）。 …………（4分）

∴ $\angle ABD + \angle BDC = 2\angle 1 + 2\angle 2 = 2(\angle 1 + \angle 2)$。 …………（6分）

∵ $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$（已知），

∴ $\angle ABD + \angle BDC = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$。 …………（8分）

∴ $AB \parallel CD$（同旁内角互补，两直线平行）。 …………（10分）

五、应用题（共20分）

1. （10分）

解：∵ $AC \parallel BD$（已知），

∴ $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）。 …………（3分）

∵ $\angle 3 = 40^\circ$，

∴ $\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$。 …………（5分）

∵ $\angle 1 = \angle 2$（入射角等于反射角），

∴ $\angle 1 = 140^\circ$。 …………（7分）

又∵ $\angle 1 + \angle 5 = 180^\circ$（邻补角定义），

∴ $\angle 5 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$。 …………（9分）

答：母球 $P$ 出击的路线 $PA$ 与桌边 $MN$ 的夹角 $\angle 5$ 是 $40^\circ$。 …………（10分）

2. （10分）

解：$\angle B = 135^\circ$。 …………（2分）

理由如下：

由题意可知，拐弯前后的两条路是平行的。 …………（4分）

即 $AD \parallel BC$。

∴ $\angle A + \angle B = 180^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）。 …………（8分）

∵ $\angle A = 135^\circ$，

∴ $\angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$。 …………（10分）

（注：本题需根据图形判断 $\angle A$ 与 $\angle B$ 是同旁内角还是内错角，此处按常见图形设定为同旁内角。若图形中为内错角，则 $\angle B = \angle A = 135^\circ$，理由为“两直线平行，内错角相等”。两种答案均可，需结合所给图形判断。）