高一数学综合测试卷
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共12题，每题5分） 1. 已知集合 A = { x ∣ − 1 < x ≤ 3 } A = \{x | -1 < x \le 3\} A = { x ∣ − 1 < x ≤ 3 } ，B = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 < 0 } B = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} B = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 < 0 } ，则 A ∩ B = A \cap B = A ∩ B = （______）
A. ( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) B. ( 1 , 3 ) (1, 3) ( 1 , 3 ) C. ( − 1 , 3 ) (-1, 3) ( − 1 , 3 ) D. ( 1 , 3 ] (1, 3] ( 1 , 3 ]
2. 函数 f ( x ) = x − 2 + 1 x − 3 f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} f ( x ) = x − 2 + x − 3 1 的定义域为（______）
A. [ 2 , + ∞ ) [2, +\infty) [ 2 , + ∞ ) B. ( 2 , + ∞ ) (2, +\infty) ( 2 , + ∞ ) C. [ 2 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) [2, 3) \cup (3, +\infty) [ 2 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) D. ( 2 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) (2, 3) \cup (3, +\infty) ( 2 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ )
3. sin 210 ∘ \sin 210^\circ sin 21 0 ∘ 的值为（______）
A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 C. 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 D. − 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} − 2 3
4. 已知复数 z = ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = (1+i)(2-i) z = ( 1 + i ) ( 2 − i ) ，则 z z z 的虚部为（______）
A. 1 1 1 B. − 1 -1 − 1 C. i i i D. − i -i − i
5. 已知向量 a ⃗ = ( 1 , − 2 ) \vec{a} = (1, -2) a = ( 1 , − 2 ) ，b ⃗ = ( m , 4 ) \vec{b} = (m, 4) b = ( m , 4 ) ，且 a ⃗ ∥ b ⃗ \vec{a} \parallel \vec{b} a ∥ b ，则 m = m = m = （______）
A. − 2 -2 − 2 B. 2 2 2 C. − 8 -8 − 8 D. 8 8 8
6. 函数 f ( x ) = sin ( 2 x + π 3 ) f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) f ( x ) = sin ( 2 x + 3 π ) 的最小正周期为（______）
A. π \pi π B. 2 π 2\pi 2 π C. π 2 \frac{\pi}{2} 2 π D. π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
7. 若函数 f ( x ) = x 2 + b x + c f(x) = x^2 + bx + c f ( x ) = x 2 + b x + c 的图象关于直线 x = 1 x=1 x = 1 对称，则 b = b = b = （______）
A. − 2 -2 − 2 B. 2 2 2 C. − 1 -1 − 1 D. 1 1 1
8. cos 5 π 12 cos π 12 + sin 5 π 12 sin π 12 = \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} = cos 12 5 π cos 12 π + sin 12 5 π sin 12 π = （______）
A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 C. 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 D. 1 1 1
9. 已知复数 z = 3 + 4 i i z = \frac{3+4i}{i} z = i 3 + 4 i ，则 ∣ z ∣ = |z| = ∣ z ∣ = （______）
A. 5 5 5 B. 7 \sqrt{7} 7 C. 25 25 25 D. 7 7 7
10. 设向量 a ⃗ = ( 1 , 3 ) \vec{a} = (1, \sqrt{3}) a = ( 1 , 3 ) ，b ⃗ = ( − 3 , − 1 ) \vec{b} = (-\sqrt{3}, -1) b = ( − 3 , − 1 ) ，则 a ⃗ \vec{a} a 与 b ⃗ \vec{b} b 的夹角为（______）
A. π 6 \frac{\pi}{6} 6 π B. π 3 \frac{\pi}{3} 3 π C. 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π D. 5 π 6 \frac{5\pi}{6} 6 5 π
11. 函数 y = log 2 ( x 2 − x − 6 ) y = \log_2 (x^2 - x - 6) y = log 2 ( x 2 − x − 6 ) 的单调递减区间是（______）
A. ( − ∞ , − 2 ) (-\infty, -2) ( − ∞ , − 2 ) B. ( 3 , + ∞ ) (3, +\infty) ( 3 , + ∞ ) C. ( − ∞ , 1 2 ) (-\infty, \frac{1}{2}) ( − ∞ , 2 1 ) D. ( 1 2 , + ∞ ) (\frac{1}{2}, +\infty) ( 2 1 , + ∞ )
12. △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a = 2 3 a=2\sqrt{3} a = 2 3 ，b = 2 6 b=2\sqrt{6} b = 2 6 ，∠ A = 30 ∘ \angle A=30^\circ ∠ A = 3 0 ∘ ，则∠ B = \angle B= ∠ B = （______）
A. 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 或135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ B. 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 或120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ C. 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ D. 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘
二、填空题（共8题，每题5分） 13. cos ( − 60 ∘ ) = \cos(-60^\circ) = cos ( − 6 0 ∘ ) = ______
14. ( 1 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) = (1-2i)(3+4i) = ( 1 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) = ______（化为最简形式）
15. tan α = − 3 \tan \alpha = -\sqrt{3} tan α = − 3 ，且α ∈ ( 0 , π ) \alpha \in (0, \pi) α ∈ ( 0 , π ) ，则α = \alpha = α = ______
16. A B → + B C → − A C → = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = A B + B C − A C = ______（用向量表示）
17. log 3 27 4 = \log_3 \sqrt[4]{27} = log 3 4 27 = ______
18. sin ( 180 ∘ + x ) ⋅ cos ( 90 ∘ − x ) = \sin(180^\circ + x) \cdot \cos(90^\circ - x) = sin ( 18 0 ∘ + x ) ⋅ cos ( 9 0 ∘ − x ) = ______（化简结果）
19. a → = ( 1 , − 1 ) \overrightarrow{a} = (1, -1) a = ( 1 , − 1 ) ，b → = ( t , t + 1 ) \overrightarrow{b} = (t, t+1) b = ( t , t + 1 ) ，若a → ⊥ b → \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} a ⊥ b ，则t = t= t = ______
20. sin 2 π 8 − cos 2 π 8 = \sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = sin 2 8 π − cos 2 8 π = ______（用数值表示）
三、解答题（共5题，每题10分） 21. （集合与函数）已知集合 A = { x ∣ x 2 − x − 6 < 0 } A = \{x | x^2 - x -6 <0\} A = { x ∣ x 2 − x − 6 < 0 } ，集合 B = { x ∣ y = x − 1 } B = \{x | y = \sqrt{x-1}\} B = { x ∣ y = x − 1 } 。
(1)求集合A和集合B；
(2)求( C R A ) ∩ B (C_R A) \cap B ( C R A ) ∩ B 。
22. （三角函数）已知函数 f ( x ) = sin ( 2 x − π 6 ) + cos ( 2 x + π 3 ) f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) + \cos(2x + \frac{\pi}{3}) f ( x ) = sin ( 2 x − 6 π ) + cos ( 2 x + 3 π ) 。
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)求函数的单调递增区间。
23. （复数）已知复数 z 1 = a + b i ( a , b ∈ R ) z_1 = a+bi(a,b\in R) z 1 = a + bi ( a , b ∈ R ) ，且满足 ( z 1 − 1 ) ( 1 + i ) = 4 − 3 i (z_1-1)(1+i)=4-3i ( z 1 − 1 ) ( 1 + i ) = 4 − 3 i 。
(1)求复数z 1 z_1 z 1 ；
(2)若复数z 2 = z 1 ‾ + i 2 025 z_2=\overline{z_1}+i^2025 z 2 = z 1 + i 2 025 ，求复数z 2 z_2 z 2 的模。
24. （向量）在平面直角坐标系中，已知三点A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)。点P在线段AB上运动。
(1)求向量A C → \overrightarrow{AC} A C 的坐标和长度；
(2)当点P坐标为(1,0)时，求C P → ⋅ C B → \overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CB} C P ⋅ C B 的值；
(3)若C P → ⊥ C B → \overrightarrow{CP}\perp\overrightarrow{CB} C P ⊥ C B ，求点P的坐标。
25. （综合应用）在△ A B C \triangle ABC △ A B C 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知向量m ⃗ = ( a , sin A ) \vec{m}=(a,\sin A) m = ( a , sin A ) ，n ⃗ = ( sin C , c ) \vec{n}=(\sin C, c) n = ( sin C , c ) ，且m ⃗ ∥ n ⃗ \vec{m}\parallel\vec{n} m ∥ n 。
(1)求角B的大小；
(2)若a + c = 6 6 a+c=6\sqrt{6} a + c = 6 6 ，且△ A B C \triangle ABC △ A B C 的面积为9 15 4 \frac{9\sqrt{15}}{4} 4 9 15 ，求边b的长度。