数学试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前请先将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。

3. 选择题答案请填在题号后的括号内。

4. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8题，每题4分，共32分）

1. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B = \{1, 2, 3\}$，则 $A \cap B$ 等于（______）

A. $\{1\}$ B. $\{2\}$ C. $\{1, 2\}$ D. $\{1, 2, 3\}$

2. 函数 $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-2}$ 的定义域为（______）

A. $[1, +\infty)$ B. $(2, +\infty)$ C. $[1, 2) \cup (2, +\infty)$ D. $(1, 2) \cup (2, +\infty)$

3. 下列函数中，既是奇函数又在 $(0, +\infty)$ 上单调递增的是（______）

A. $y = x^2$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^3$ D. $y = 2^x$

4. 已知 $a = \log_2 3$，$b = \log_3 2$，$c = 2^{0.5}$，则 $a, b, c$ 的大小关系是（______）

A. $a < b < c$ B. $b < a < c$ C. $b < c < a$ D. $c < b < a$

5. 函数 $f(x) = 2^x + 3x - 6$ 的零点所在区间是（______）

A. $(0, 1)$ B. $(1, 2)$ C. $(2, 3)$ D. $(3, 4)$

6. 已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 是第二象限角，则 $\cos \alpha$ 等于（______）

A. $\frac{4}{5}$ B. $-\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $-\frac{3}{4}$

7. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，若 $a = 2$，$b = 3$，$C = 60^\circ$，则 $c$ 等于（______）

A. $\sqrt{7}$ B. $7$ C. $\sqrt{19}$ D. $19$

8. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, -1)$，则 $2\vec{a} + \vec{b}$ 等于（______）

A. $(5, 3)$ B. $(5, 1)$ C. $(4, 3)$ D. $(4, 1)$

二、填空题（共4题，每题4分，共16分）

9. 计算：$\log_2 8 + \log_3 \frac{1}{9} =$ ______

10. 函数 $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ 的最小正周期为 ______

11. 已知 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ 2x - 1, & x > 0 \end{cases}$，则 $f(f(-1)) =$ ______

12. 若 $x > 0$，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为 ______

三、解答题（共4题，共52分）

13.（本题满分12分） 已知集合 $A = \{x \mid -2 \leq x \leq 5\}$，$B = \{x \mid m+1 \leq x \leq 2m-1\}$。

（1）当 $m = 3$ 时，求 $A \cup B$；

（2）若 $B \subseteq A$，求实数 $m$ 的取值范围。

14.（本题满分12分） 已知函数 $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$。

（1）判断函数 $f(x)$ 在区间 $(-1, +\infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

15.（本题满分14分） 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且 $b \cos C + c \cos B = 2a \cos A$。

（1）求角 $A$ 的大小；

（2）若 $a = 2\sqrt{3}$，$b = 2$，求 $c$ 的值。

16.（本题满分14分） 已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$，$\vec{b} = (\sqrt{3}, -1)$，设函数 $f(x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$。

（1）求 $f(x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

（2）当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，求 $f(x)$ 的值域。

参考答案

一、选择题

1. C $\{1, 2\}$

2. C $[1, 2) \cup (2, +\infty)$

3. C $y = x^3$

4. C $b < c < a$

5. B $(1, 2)$

6. B $-\frac{4}{5}$

7. A $\sqrt{7}$

8. A $(5, 3)$

二、填空题

9. $1$

10. $\pi$

11. $1$

12. $4$

三、解答题

13. （1）当 $m=3$ 时，$B = \{x \mid 4 \leq x \leq 5\}$，$A \cup B = \{x \mid -2 \leq x \leq 5\}$。

（2）由 $B \subseteq A$，需满足 $m+1 \geq -2$ 且 $2m-1 \leq 5$，解得 $-3 \leq m \leq 3$。又 $B$ 非空时需 $m+1 \leq 2m-1$，即 $m \geq 2$，所以 $2 \leq m \leq 3$；当 $B = \varnothing$ 时，$m+1 > 2m-1$，即 $m < 2$，也满足 $B \subseteq A$。综上，$m$ 的取值范围是 $(-\infty, 3]$。

14. （1）$f(x) = \frac{2x-1}{x+1} = 2 - \frac{3}{x+1}$，在 $(-1, +\infty)$ 上单调递增。证明略。

（2）由单调性知，在 $[0, 3]$ 上，$f(x)_{\min} = f(0) = -1$，$f(x)_{\max} = f(3) = \frac{5}{4}$。

15. （1）由正弦定理及 $b \cos C + c \cos B = 2a \cos A$，得 $\sin B \cos C + \sin C \cos B = 2\sin A \cos A$，即 $\sin(B+C) = 2\sin A \cos A$，$\sin A = 2\sin A \cos A$，因为 $\sin A \neq 0$，所以 $\cos A = \frac{1}{2}$，$A = 60^\circ$。

（2）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，得 $12 = 4 + c^2 - 2 \cdot 2 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$，即 $c^2 - 2c - 8 = 0$，解得 $c = 4$（负值舍去）。

16. （1）$f(x) = \sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$，最小正周期 $T = 2\pi$。由 $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，得单调递增区间为 $[-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi]$，$k \in \mathbb{Z}$。

（2）当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，$x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$，$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \in [-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$，所以 $f(x) \in [-1, \sqrt{3}]$。

评分标准

一、选择题（每题4分，共32分）

每题选对得4分，选错或不选得0分。

二、填空题（每题4分，共16分）

每题填对得4分，填错或不填得0分。

三、解答题（共52分）

13.（满分12分）第（1）问4分，正确求出并集得4分；第（2）问8分，分类讨论正确得6分，结论正确得2分。

14.（满分12分）第（1）问6分，判断单调性得2分，证明过程完整得4分；第（2）问6分，求出最小值得3分，最大值得3分。

15.（满分14分）第（1）问7分，正确使用正弦定理得3分，化简得出 $\cos A = \frac{1}{2}$ 得3分，求出角 $A$ 得1分；第（2）问7分，正确使用余弦定理得3分，解方程得3分，舍去负值得1分。

16.（满分14分）第（1）问7分，化简正确得3分，求出周期得2分，写出单调区间得2分；第（2）问7分，正确求出范围得4分，得出值域得3分。