初三数学一元二次方程图像与反比例函数测试卷

完成时间：______ 分钟 得分：______

满分：100分 时间：90分钟 难度系数：★★☆☆☆

班级：______ 姓名：______ 学号：______

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

每小题只有一个正确选项，请将正确答案的序号填在题前括号内。

（         ）1. 二次函数 $y = x^2$ 的图像开口方向是（         ）

A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右

（         ）2. 二次函数 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是（         ）

A. (1, 2) B. (-1, 2) C. (1, -2) D. (-1, -2)

（         ）3. 抛物线 $y = -x^2 + 3$ 的最大值是（         ）

A. 0 B. 3 C. -3 D. 不存在

（         ）4. 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图像经过点（         ）

A. (1, 2) B. (2, 1) C. (1, \frac{1}{2}) D. (-1, 2)

（         ）5. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 (2, -3)，则 k 的值为（         ）

A. -6 B. 6 C. -\frac{2}{3} D. \frac{2}{3}

（         ）6. 抛物线 $y = 2x^2$ 的对称轴是（         ）

A. x = 0 B. y = 0 C. x = 2 D. y = 2

（         ）7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根是（         ）

A. $x_1 = 1, x_2 = 3$    B. $x_1 = -1, x_2 = -3$    C. $x_1 = 1, x_2 = -3$    D. $x_1 = -1, x_2 = 3$

（         ）8. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 与 x 轴的交点个数是（         ）

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定

（         ）9. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的对称轴是直线（         ）

A. x = 2 B. x = 4 C. x = -2 D. x = -4

（         ）10. 对于反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$，下列说法正确的是（         ）

A. 图像经过点 (1, 3) B. 图像位于第一、三象限 C. 图像位于第二、四象限 D. 图像经过原点

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 二次函数 $y = 3x^2$ 的开口方向是______，对称轴是______。

12. 抛物线 $y = (x+2)^2 - 3$ 的顶点坐标是______。

13. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 (1, 4)，则 k = ______。

14. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 的图像与 x 轴的交点坐标为______、______。

15. 抛物线 $y = x^2 + 1$ 与 y 轴的交点坐标是______。

16. 反比例函数 $y = \frac{4}{x}$，当 x > 0 时，y 随 x 的增大而______。

三、解答题（本大题共4小题，第17、18题每题10分，第19、20题每题13分，共46分）

17.（10分）解一元二次方程：$x^2 - 5x + 6 = 0$。

解方程过程：

18.（10分）已知反比例函数 $y = \frac{6}{x}$，其中 $x$ 的值为 2 和 3，求对应的 y 值，并比较两条对应点到 x 轴距离的大小。

解方程过程：

19.（13分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。求该函数的对称轴、顶点坐标及该抛物线与 x 轴的交点坐标，并写出其函数式化为顶点式的过程。

解方程过程：

20.（13分）一次函数 $y = 2x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的函数图像交于点 A（2, 3）。

求：

（1）常数 b 和 k 的值；

（2）这两个函数图像的交点坐标。

解方程过程：

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A 8. B 9. A 10. C

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 向上；x = 0 12. (-2, -3) 13. 4 14. (3, 0) 和 (-1, 0) 15. (0, 1) 16. 减小

三、解答题（本大题共4小题，共46分）

17. 解：方程可分解为 (x - 2)(x - 3) = 0

∴ $x_1 = 2$，$x_2 = 3$

18. 解：当 x = 2 时，y = 6÷2 = 3；当 x = 3 时，y = 6÷3 = 2。

点到坐标轴距离分别为 3 和 2，因为 3 = 3，所以到 x 轴距离为 3 的那个点（即 (2,3)）比到坐标轴距离为 2 的点是 (3,2)，且原点到两点距离大小满足 $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ 对 $\sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$，所以到坐标轴距离相等。

（说明：本题主要考查反比例函数图像坐标计算。）

19. 解：对称轴公式：$x = -\frac{b}{2a}$，本题 a = 1，b = -2

∴ x = 1

顶点坐标：代入 x = 1，得 y = 1 - 2 - 3 = -4，所以顶点为 (1, -4)

令 y = 0，即 $x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0，解得 x = 3 或 x = -1

∴ 与 x 轴交点坐标为 (3, 0) 和 (-1, 0)

顶点式化：$y = (x^2 - 2x + 1) - 4 = (x - 1)^2 - 4$

20. 解：点 A（2，3）在两函数图像上，代入一次函数

∴ 3 = 2×2 + b，得 b = -1，一次函数为 y = 2x - 1

代入反比例函数 3 = k/2，得 k = 6，反比例函数为 y = 6/x

令 2x - 1 = 6/x，得 $2x^2 - x - 6 = 0$，即 (2x + 3)(x - 2) = 0

∴ 另一交点坐标为 x = -3/2，代入得 y = 6÷(-3/2) = -4

∴ 两个交点分别为 (2, 3) 和 (-3/2, -4)