高等数学期末考试试卷

完成时间：_______ 分钟     得分：_______

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填入题后的括号内。

1. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 的值为（    ）

    A. 0      B. 1      C. 3      D. 不存在

2. 函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的极小值点是（    ）

    A. $x = -1$      B. $x = 0$      C. $x = 1$      D. $x = 2$

3. 设 $y = \ln(\sin x)$，则 $dy$ 等于（    ）

    A. $\frac{1}{\sin x} dx$      B. $\cot x \, dx$      C. $\frac{\cos x}{\sin x}$      D. $\frac{1}{\sin x} \cos x \, dx$

4. 不定积分 $\int \frac{1}{x \ln x} dx$ 的结果是（    ）

    A. $\ln |\ln x| + C$      B. $\ln |x| + C$      C. $\frac{1}{(\ln x)^2} + C$      D. $\frac{1}{x^2} + C$

5. 下列广义积分收敛的是（    ）

    A. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$      B. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$      C. $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$      D. $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$

6. 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处（    ）

    A. 连续且可导      B. 连续但不可导      C. 不连续但可导      D. 不连续且不可导

7. 曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = 2x$ 所围成的平面图形的面积是（    ）

    A. $\frac{2}{3}$      B. $\frac{4}{3}$      C. $2$      D. $\frac{8}{3}$

8. 微分方程 $y' = 2y$ 的通解是（    ）

    A. $y = e^{2x}$      B. $y = Ce^{x}$      C. $y = e^{2x} + C$      D. $y = Ce^{2x}$

9. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n =$（    ）

    A. 1      B. -1      C. 0      D. 可能不存在

10. 空间平面 $x + 2y + 3z = 6$ 与三个坐标面所围成的四面体的体积是（    ）

    A. 6      B. 12      C. 18      D. 36

二、填空题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）

请将正确答案填写在题中的横线上。

11. 设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a =$ _______________。

12. 函数 $y = x e^{-x}$ 的拐点坐标是 _______________。

13. 定积分 $\int_{-1}^{1} (x^3 + \cos x) dx =$ _______________。

14. 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径 $R =$ _______________。

15. 设 $z = \arctan(xy)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} =$ _______________。

三、判断题（本道题共10个小题，每小题1分，共10分）

判断下列命题的正误，正确的在题后括号内填“√”，错误的填“×”。

16. 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处一定连续。（    ）

17. 单调增加且有上界的数列必收敛。（    ）

18. 若 $f'(x_0) = 0$，则 $x_0$ 一定是函数 $f(x)$ 的极值点。（    ）

19. 两个无穷大量的和仍是无穷大量。（    ）

20. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。（    ）

21. 若 $\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$，则在 $[a, b]$ 上必有 $f(x) \equiv 0$。（    ）

22. 对函数 $y = f(x)$，微分 $dy$ 与增量 $\Delta y$ 当 $\Delta x \to 0$ 时是等价无穷小。（    ）

23. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n)^2$ 也一定收敛。（    ）

24. 二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处两个偏导数都存在，则函数在该点一定连续。（    ）

25. 方程 $y'' + y = 0$ 的通解可以表示为 $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$。（    ）

四、简答题（本道题6道小题，共50分）

26. （6分）求函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(5-x)}$ 的定义域。

解：

27. （8分）求函数 $y = x + \sqrt{1-x}$ 在定义域上的值域。

解：

28. （8分）求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在区间 $[-1, 3]$ 上的最大值和最小值。

解：

29. （8分）讨论函数 $f(x) = \frac{x^2}{1+x}$ 的单调区间。

解：

30. （10分）用洛必达法则求下列极限：

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$      (2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} \, (\alpha > 0)$

解：

31. （10分）讨论函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \end{cases}$ 在点 $x=0$ 处的连续性。若不连续，指出间断点的类型。

解：