试卷2026/4/17

高二排列组合基本题型练习（填空题）

（满分100分，时间45分钟）

一、填空题（共20题，每题5分）

1. 从6个不同的元素中任取3个排成一列，共有 种不同的排法。

2. 某校足球队有8名队员，要从中选出1名队长和1名副队长，共有 种不同的选法。

3. 将4本不同的书分给4个人，每人恰好一本，共有 种不同的分法。

4. 一个袋子中有5个白球和4个黑球，从中任意取出3个球，取出的球都是白球的情况有 种。

5. 用数字0, 1, 2, 3, 4可以组成 个没有重复数字的三位偶数。

6. 从7名候选人中选出3人组成一个委员会，共有 种不同的选法。

7. 6个人站成一排，其中甲、乙、丙三人必须按此顺序相邻（不一定紧邻其他人），一共有 种不同的排法。

8. 平面上有8个点，其中任意三点不共线，以这些点为顶点可以画出 条不同的直线。

9. 从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少包含1名女生，共有 种不同的选法。

10. 将“SUCCESS”这7个字母进行排列，共有 种不同的排法（考虑字母重复）。

11. 在 $(x + y)^6$ 的展开式中，$x^4y^2$ 项的系数是        。

12. 用数字1, 2, 3, 4组成没有重复数字的四位数，其中大于2300的数有 个。

13. 某小组有9人，现要分成3组分别去完成3项不同的任务，每组人数分别为2人、3人、4人，共有 种不同的分组方法。

14. 从1, 2, 3, ..., 9这九个数字中任取两个，其和为偶数的取法有 种。

15. 5个不同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，共有 种不同的放法。

16. 某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示 种不同的信号。

17. 从单词“EQUATION”中选取4个不同的字母进行排列，要求包含字母“Q”，共有 种不同的排法。

18. 将6名志愿者分配到3个不同的社区服务，每个社区至少1人，至多3人，则不同的分配方案有 种。

19. 在所有的三位数中，各位数字之和等于9的数共有 个。

20. 某医院有内科医生8名，外科医生6名，现要从中选派5名医生组成医疗队，要求内科医生不少于3名，则不同的选派方法有 种。

参考答案及评分标准

一、填空题

评分标准：每题5分，只有最终答案正确且书写清晰方可得分。若答案错误、多解、漏解或书写模糊导致无法辨认，则不得分。

1. 答案：120

解析：排列问题，$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$。

2. 答案：56

解析：选出的两人需区分职务，为排列问题，$A_8^2 = 8 \times 7 = 56$。

3. 答案：24

解析：相当于4本书的全排列，$4! = 24$。

4. 答案：10

解析：组合问题，$C_5^3 = C_5^2 = 10$。

5. 答案：30

解析：三位偶数要求个位为0, 2, 4。分类：①个位为0：$A_4^2 = 12$个；②个位为2：百位从1,3,4中选，有3种，十位从剩下3个中选，有3种，共$3 \times 3 = 9$个；③个位为4：同②，有9个。总计 $12 + 9 + 9 = 30$个。

6. 答案：35

解析：组合问题，$C_7^3 = 35$。

7. 答案：144

解析：“捆绑法”与“定序问题”结合。先将甲、乙、丙三人“捆绑”成一个整体，与其余3人排列，有$4! = 24$种。由于甲、乙、丙三人内部顺序固定（只有1种），故总数为 $24 \times 1 = 24$种。注意：本题“按此顺序相邻”意味着三人在排列中必须相邻且顺序固定，故为24种。若理解为“只要三人顺序固定即可，不一定紧邻”，则是定序问题，答案为 $6! / 3! = 120$。此处按常见“相邻且顺序固定”理解，答案为24。若学生答120，经核验逻辑合理，可酌情给分。

8. 答案：28

解析：两点确定一条直线，组合问题，$C_8^2 = 28$。

9. 答案：80

解析：间接法。总选法 $C_9^3 = 84$，减去全是男生的选法 $C_5^3 = 10$，得 $84 - 10 = 74$。或直接分类：1女2男：$C_4^1 C_5^2 = 40$；2女1男：$C_4^2 C_5^1 = 30$；3女：$C_4^3 = 4$；合计74。原答案80有误，应为74。

10. 答案：420

解析：“SUCCESS”中有7个字母：S出现3次，C出现2次，U、E各1次。全排列数为 $\frac{7!}{3!2!} = 420$。

11. 答案：15

解析：由二项式定理，通项 $T_{k+1} = C_6^k x^{6-k} y^k$。令 $6-k=4$，得 $k=2$，系数为 $C_6^2 = 15$。

12. 答案：10

解析：分类：①千位为3或4：$2 \times A_3^3 = 12$个；②千位为2，百位为3或4：$2 \times A_2^2 = 4$个；③千位为2，百位为1：不符合。总计 $12 + 4 = 16$个。再减去2300本身不符合（无重复数字），但需检查是否包含2300。实际上，千位2、百位3时，十位和个位从{1,4}中选，有$A_2^2=2$个，即2314和2341。千位2、百位4时，有2413和2431。故共4个。加上千位3或4的12个，总计16个。若学生答10，可能是忽略了千位为2，百位为4的情况（只考虑了百位为3），正确答案为16。

13. 答案：1260

解析：先分组，再分配任务（或理解为一并分配）。分组方法数为 $C_9^2 \cdot C_7^3 \cdot C_4^4 = 1260$。由于任务不同，分好的三组需要排列到三个任务上，即乘以 $3! = 6$，故总数为 $1260 \times 6 = 7560$。若题目仅问“分组方法”，答案为1260；若问“分配方法”，答案为7560。此处按“分组方法”理解，答案为1260。

14. 答案：16

解析：和为偶数，需同奇或同偶。1~9中奇数5个，偶数4个。取法：$C_5^2 + C_4^2 = 10 + 6 = 16$。

15. 答案：150

解析：先分组（5个不同球分成3组，每组至少1个），只能是 (3,1,1) 或 (2,2,1)。分组方法数：$(C_5^3 C_2^1 C_1^1 / 2! + C_5^2 C_3^2 C_1^1 / 2!) = (10 + 15) = 25$。再将三组球分配给三个不同的盒子，有 $3! = 6$ 种方法。总数为 $25 \times 6 = 150$。

16. 答案：15

解析：分类：挂一面旗：$A_3^1 = 3$种；挂两面旗：$A_3^2 = 6$种；挂三面旗：$A_3^3 = 6$种。合计 $3+6+6=15$种。

17. 答案：480

解析：“EQUATION”有8个不同字母。先确保包含Q，则从剩下7个字母中选3个，有 $C_7^3 = 35$ 种选法。再将选出的4个字母全排列，有 $4! = 24$ 种。总计 $35 \times 24 = 840$。或使用间接法：含Q的排列数 = 总排列数($A_8^4=1680$) - 不含Q的排列数($A_7^4=840$)=840。原答案480有误，应为840。

18. 答案：540

解析：先分组。6人分到3个社区，每社区1~3人，分组方式有：(3,2,1), (2,2,2)。① (3,2,1)：分组方法 $C_6^3 C_3^2 C_1^1 = 60$；② (2,2,2)：分组方法 $C_6^2 C_4^2 C_2^2 / 3! = 15$。总分组数 $60+15=75$。再将分好的3组分配到3个不同社区，有 $3! = 6$ 种方法。故总分配方案 $75 \times 6 = 450$。若社区有区别，答案为450。原答案540可能是计算分组时未除以均匀分组的阶乘导致。

19. 答案：45

解析：设三位数为 $\overline{abc}$，$a \ge 1$，$a+b+c=9$。使用隔板法。方程 $a+b+c=9$ 的正整数解个数，等价于在8个空隙中插2块板，$C_8^2 = 28$。但 $a, b, c$ 可以取0，且 $a \ge 1$。令 $a‘ = a-1$，则 $a' + b + c = 8$，$a', b, c$ 为非负整数，非负整数解个数为 $C_{8+3-1}^{3-1} = C_{10}^2 = 45$。此45个解中，$a'$ 最大可为8，对应 $a=9$，合理。故答案为45。

20. 答案：686

解析：分类：①内科3名，外科2名：$C_8^3 \cdot C_6^2 = 56 \times 15 = 840$；②内科4名，外科1名：$C_8^4 \cdot C_6^1 = 70 \times 6 = 420$；③内科5名：$C_8^5 = 56$。合计 $840 + 420 + 56 = 1316$。原答案686有误，应为1316。

备注：在复核过程中，发现第9、12、17、18、20题的原预设答案有误，已在解析中给出正确解答。评分时，以最终公布的正确答案为准。