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数学通用学段专题训练

立体几何垂直关系判定与性质强化训练

立体几何垂直关系判定与性质强化训练 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 一、填空题（共10题） 请根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，在横线上填写正确内容。 1. 如果一条直线垂直于一个平面内的______条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面。 2. 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们______的直线垂直于另一个平

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立体几何垂直关系判定与性质强化训练


完成时间：_______ 分钟 得分：_______



一、填空题（共10题）

请根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，在横线上填写正确内容。


1. 如果一条直线垂直于一个平面内的______条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面。

2. 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们______的直线垂直于另一个平面。

3. 如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的______直线都垂直。

4. 如果一个平面经过另一个平面的______，那么这两个平面互相垂直。

5. 如果两个平面垂直，那么过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，该垂线在______平面内。

6. 垂直于同一个平面的两条直线互相______。

7. 如果一条直线平行于一个平面，那么过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线______。

8. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相______。

9. 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面的位置关系是______。

10. 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它与另一个平面的位置关系是______。



二、判断题（共8题）

判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。


1. 若 l⊥αl \perp \alpha，m⊂αm \subset \alpha，则 l⊥ml \perp m。（______）

2. 若 m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，l⊥ml \perp m，l⊥nl \perp n，则 l⊥αl \perp \alpha。（______）

3. 若 α⊥β\alpha \perp \beta，α∩β=l\alpha \cap \beta = l，a⊂αa \subset \alpha，a⊥la \perp l，则 a⊥βa \perp \beta。（______）

4. 若 α⊥β\alpha \perp \beta，α∩β=l\alpha \cap \beta = l，a⊂αa \subset \alpha，则 a⊥la \perp l。（______）

5. 若 l⊥αl \perp \alpha，则 ll 垂直于 α\alpha 内无数条直线。（______）

6. 若 l⊥ml \perp m，m⊂αm \subset \alpha，则 l⊥αl \perp \alpha。（______）

7. 若 α⊥β\alpha \perp \beta，β⊥γ\beta \perp \gamma，则 α∥γ\alpha \parallel \gamma。（______）

8. 若 l∥ml \parallel m，l⊥αl \perp \alpha，则 m⊥αm \perp \alpha。（______）



三、选择题（共6题）

1. 已知直线 ll 垂直于平面 α\alpha，直线 m⊂βm \subset \beta，则下列命题正确的是（______）

A. 若 α∥β\alpha \parallel \beta，则 l⊥ml \perp m    B. 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m    C. 若 l∥ml \parallel m，则 α∥β\alpha \parallel \beta    D. 若 l⊥ml \perp m，则 α⊥β\alpha \perp \beta

2. 设 m,nm,n 是两条不同的直线，α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 是三个不同的平面。下列命题中正确的是（______）

A. 若 m∥αm\parallel\alpha, n∥αn\parallel\alpha, 则 m∥nm\parallel n    B. 若 α⊥γ\alpha\perp\gamma, β⊥γ\beta\perp\gamma, 则 α∥β\alpha\parallel\beta    C. 若 m∥αm\parallel\alpha, m∥βm\parallel\beta, 则 α∥β\alpha\parallel\beta    D. 若 m⊥αm\perp\alpha, n⊥αn\perp\alpha, 则 m∥nm\parallel n

3. 已知 △ABC\triangle ABC 所在平面外一点 PP, PA=PB=PCPA=PB=PC, 且点 PP 在底面 △ABC\triangle ABC 上的射影为点 OO, 则点 OO 是 △ABC\triangle ABC 的（______）

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

4. 下列条件中能推出 m⊥αm\perp\alpha 的是（______）

A. m⊥nm\perp n, n∥αn\parallel\alpha    B. m⊥βm\perp\beta, β∥α\beta\parallel\alpha    C. m⊥βm\perp\beta, β⊥α\beta\perp\alpha    D. m∥nm\parallel n, n⊥βn\perp\beta, β∥α\beta\parallel\alpha

5. 设 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 为三个不同的平面, l,m,nl,m,n 为三条不同的直线, 下列说法正确的是（______）

A. 若 l∥ml\parallel m, m⊂αm\subset\alpha, 则 l∥αl\parallel\alpha    B. 若 α⊥β\alpha\perp\beta, β∩γ=l\beta\cap\gamma=l, l⊂αl\subset\alpha, 则 α⊥γ\alpha\perp\gamma

C. 若 l⊂αl\subset\alpha, m⊂βm\subset\beta, l⊥ml\perp m, 则 α⊥β\alpha\perp\beta

D. 若 α∩β=l\alpha\cap\beta=l, m⊂αm\subset\alpha, n⊂βn\subset\beta, m⊥lm\perp l, n⊥ln\perp l, 则 m⊥nm\perp n

6. “直线与平面垂直”的判定定理中, “两条相交直线”这一条件能否改为“两条平行直线”? （______）

A. 能 B. 不能 C. 不一定 D. 无法判断



四、解答题（共4题）

1. （线面垂直判定定理应用）如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1中,求证：对角线 AC1⊥BDAC_1 \perp BD. （提示：先证明BD垂直于面ACC1A1）




2. （面面垂直性质应用）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,M是PD的中点。求证：平面MAB⊥平面PCD。




3. （综合应用）在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC。求证：平面PAB⊥平面PBC。




4. （逆向思维训练）已知两个平面α和β互相垂直,且α∩β=l。在α内有一条直线a与β不垂直。请说明理由：为什么a不能垂直于β？并写出正确的面面垂直性质定理。






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立体几何垂直关系 · 参考答案

一、填空题答案

1.两

2.交线

3.任意一条

4.一条垂线

5.第一个

6.平行

7.平行

8.平行

9.垂直

10.垂直

二、判断题答案

1.（√）

2.（×）缺少相交条件

3.（√）

4.（×）不一定垂直交线

5.（√）无数条但不一定是所有条

6.（×）缺少线在面内条件

7.（×）可能相交或平行

8.（√）平行线传递性+线面垂直性质

三、选择题答案

A；D；B；B；B；B。

四、解答题提示

1. ∵BB₁⊥面ABCD,BD⊂面ABCD,∴BB₁⊥BD。又∵AC⊥BD(正方形对角线),AC∩BB₁=B,∴BD⊥面ACC₁A₁。又AC₁⊂面ACC₁A₁,∴AC₁⊥BD。

2. ∵PA⊥面ABCD,CD⊂面ABCD,∴PA⊥CD。又AD⊥CD(矩形),PA∩AD=A,∴CD⊥面PAD。∵AM⊂面PAD,∴CD⊥AM。又PA=AD,M为PD中点,∴AM⊥PD。PD∩CD=D,∴AM⊥面PCD。又AM⊂面MAB,∴面MAB⊥面PCD。

3. ∵PA⊥面ABC,BC⊂面ABC,∴PA⊥BC。又AB⊥BC(已知),PA∩AB=A,∴BC⊥面PAB。又BC⊂面PBC,∴面PAB⊥面PBC。

4. a不能垂直于β的原因：如果a⊥β,由于α∩β=l,a⊂α且a⊥β,根据性质定理,a必垂直于交线l。但题目中未给出a与l的关系,a可能不垂直于l。正确性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。