安徽沪科版数学八年级上册期末考试卷

姓名：______________ 班级：______________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 在平面直角坐标系中，点 $P(-2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（______）

A. $(-2, -3)$ B. $(2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, 3)$

2. 下列函数中，$y$ 是 $x$ 的正比例函数的是（______）

A. $y = 2x + 1$ B. $y = \frac{3}{x}$ C. $y = -5x$ D. $y = x^2$

3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（______）

A. $1, 2, 3$ B. $2, 3, 5$ C. $3, 4, 8$ D. $4, 5, 6$

4. 一次函数 $y = -2x + 3$ 的图象不经过（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 下列命题中，是真命题的是（______）

A. 相等的角是对顶角 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和

6. 如图，$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，则 $\angle F$ 的度数是（______）

A. $50^\circ$ B. $60^\circ$ C. $70^\circ$ D. $80^\circ$

7. 已知点 $(-4, y_1)$，$(2, y_2)$ 都在直线 $y = \frac{1}{2}x + 2$ 上，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是（______）

A. $y_1 > y_2$ B. $y_1 = y_2$ C. $y_1 < y_2$ D. 无法确定

8. 等腰三角形的一个角是 $80^\circ$，则它的底角是（______）

A. $80^\circ$ B. $50^\circ$ C. $80^\circ$ 或 $50^\circ$ D. $20^\circ$

9. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是中线，$\angle B = 50^\circ$，则 $\angle BAD$ 的度数是（______）

A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $80^\circ$ D. $100^\circ$

10. 一次函数 $y = kx + b$ 的图象如图所示，则 $k$ 和 $b$ 的取值范围是（______）

A. $k > 0, b > 0$ B. $k > 0, b < 0$ C. $k < 0, b > 0$ D. $k < 0, b < 0$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是______。

12. 将直线 $y = 3x$ 向下平移 $2$ 个单位长度，所得直线的解析式为______。

13. 如图，$\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，$DE = 5$，则 $BC =$ ______。

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$，若 $BC = 10$，$BD = 6$，则点 $D$ 到 $AB$ 的距离为______。

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15.（8分）已知一次函数的图象经过点 $A(1, 4)$ 和点 $B(-2, -2)$，求这个一次函数的解析式。

16.（8分）如图，$B$、$E$、$C$、$F$ 在同一直线上，$AB = DE$，$AC = DF$，$BE = CF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

17.（8分）已知 $y$ 与 $x$ 成正比例，且当 $x = 2$ 时，$y = -6$。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，求 $y$ 的值。

18.（8分）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，求 $\angle C$ 的度数，并判断 $\triangle ABC$ 的形状。

19.（10分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^\circ$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，且 $AD = 3$，求 $BC$ 的长。

20.（10分）某市出租车收费标准如下：起步价 $8$ 元（$3$ 千米以内），超过 $3$ 千米的部分每千米 $2$ 元（不足 $1$ 千米按 $1$ 千米计算）。设行驶路程为 $x$ 千米，应付车费为 $y$ 元。

（1）写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）若某人乘坐出租车行驶了 $8.5$ 千米，应付车费多少元？

21.（12分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 上一点，$AE \perp CD$ 于点 $E$，$BF \perp CD$ 交 $CD$ 的延长线于点 $F$。求证：$AE = CF$。

22.（12分）如图，直线 $l_1: y = x + 1$ 与直线 $l_2: y = -2x + 4$ 相交于点 $P$。

（1）求点 $P$ 的坐标；

（2）求直线 $l_1$ 与 $x$ 轴交点 $A$ 的坐标，直线 $l_2$ 与 $x$ 轴交点 $B$ 的坐标；

（3）求 $\triangle PAB$ 的面积。

23.（14分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，$D$ 是 $BC$ 上一点，$CE \perp AD$ 于点 $E$，$BF \perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$。

（1）求证：$\triangle ABF \cong \triangle CAE$；

（2）若 $AF = 5$，$EF = 2$，求 $BF$ 的长。

（1）                                                                （2）

参考答案与解析

一、选择题

1. A 解析：关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以 $(-2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点为 $(-2, -3)$。

2. C 解析：正比例函数形式为 $y = kx$（$k \neq 0$），$y = -5x$ 符合。

3. D 解析：三角形两边之和大于第三边。$4 + 5 > 6$，可以组成三角形。

4. C 解析：$k = -2 < 0$，$b = 3 > 0$，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

5. C 解析：全等三角形的对应边相等是真命题。

6. C 解析：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，则 $\angle F = \angle C$。$\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$，所以 $\angle F = 70^\circ$。

7. C 解析：$k = \frac{1}{2} > 0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。$-4 < 2$，所以 $y_1 < y_2$。

8. C 解析：若 $80^\circ$ 是顶角，则底角为 $(180^\circ - 80^\circ) \div 2 = 50^\circ$；若 $80^\circ$ 是底角，则底角为 $80^\circ$。

9. A 解析：$AB = AC$，$AD$ 是中线，则 $AD \perp BC$，$\angle BAD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$。

10. C 解析：图象从左到右下降，$k < 0$；图象与 $y$ 轴交于正半轴，$b > 0$。

二、填空题

11. $x \geq 2$ 解析：被开方数 $x - 2 \geq 0$，解得 $x \geq 2$。

12. $y = 3x - 2$ 解析：向下平移 $2$ 个单位，$b$ 值减 $2$。

13. $10$ 解析：$DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$BC = 2DE = 10$。

14. $4$ 解析：$CD = BC - BD = 4$，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点 $D$ 到 $AB$ 的距离等于 $CD = 4$。

三、解答题

15. 解：设一次函数解析式为 $y = kx + b$（$k \neq 0$）。

将 $A(1, 4)$，$B(-2, -2)$ 代入得：

$\begin{cases} k + b = 4 \\ -2k + b = -2 \end{cases}$

解得 $k = 2$，$b = 2$。

所以一次函数解析式为 $y = 2x + 2$。

16. 证明：$BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即 $BC = EF$。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，

$\begin{cases} AB = DE \\ AC = DF \\ BC = EF \end{cases}$

$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（SSS）。

17. 解：（1）设 $y = kx$（$k \neq 0$）。

当 $x = 2$ 时，$y = -6$，则 $2k = -6$，解得 $k = -3$。

$\therefore y = -3x$。

（2）当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，$y = -3 \times (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$。

18. 解：$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$。

$\because \angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，$\angle C = 70^\circ$，三个角都小于 $90^\circ$，

$\therefore \triangle ABC$ 是锐角三角形。

19. 解：$AB = AC$，$AD \perp BC$，$\therefore BD = CD$，$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = 60^\circ$。

在 $\triangle ABD$ 中，$\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。

$\therefore AB = 2AD = 6$。

由勾股定理得 $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。

$\therefore BC = 2BD = 6\sqrt{3}$。

20. 解：（1）当 $0 < x \leq 3$ 时，$y = 8$；

当 $x > 3$ 时，$y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2$。

（2）$8.5$ 千米按 $9$ 千米计算，$x = 9$，$y = 2 \times 9 + 2 = 20$（元）。

答：应付车费 $20$ 元。

21. 证明：$\angle ACB = 90^\circ$，$\therefore \angle ACE + \angle BCF = 90^\circ$。

$AE \perp CD$，$\therefore \angle AEC = 90^\circ$，$\angle CAE + \angle ACE = 90^\circ$。

$\therefore \angle CAE = \angle BCF$。

$BF \perp CD$，$\therefore \angle F = 90^\circ = \angle AEC$。

在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle CBF$ 中，

$\begin{cases} \angle AEC = \angle F \\ \angle CAE = \angle BCF \\ AC = CB \end{cases}$

$\therefore \triangle ACE \cong \triangle CBF$（AAS）。

$\therefore AE = CF$。

22. 解：（1）联立 $\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$，$\therefore P(1, 2)$。

（2）对于 $l_1: y = x + 1$，令 $y = 0$，得 $x = -1$，$\therefore A(-1, 0)$。

对于 $l_2: y = -2x + 4$，令 $y = 0$，得 $x = 2$，$\therefore B(2, 0)$。

（3）$AB = 2 - (-1) = 3$，$\triangle PAB$ 的高为 $P$ 点的纵坐标 $2$。

$\therefore S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。

23.（1）证明：$\angle BAC = 90^\circ$，$\therefore \angle BAF + \angle CAE = 90^\circ$。

$CE \perp AD$，$\therefore \angle AEC = 90^\circ$，$\angle CAE + \angle ACE = 90^\circ$。

$\therefore \angle BAF = \angle ACE$。

$BF \perp AD$，$\therefore \angle F = 90^\circ = \angle AEC$。

$AB = AC$，$\therefore \triangle ABF \cong \triangle CAE$（AAS）。

（2）解：$\triangle ABF \cong \triangle CAE$，$\therefore BF = AE$，$AF = CE = 5$。

$AE = AF - EF = 5 - 2 = 3$，$\therefore BF = 3$。