1. 下列计算正确的是（______）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $a^8 \div a^2 = a^4$ D. $(ab)^2 = a^2b^2$

2. 已知 $\angle A = 35^\circ$，则 $\angle A$ 的余角是（______）

A. $35^\circ$ B. $55^\circ$ C. $145^\circ$ D. $65^\circ$

3. 在关系式 $y = 3x - 1$ 中，当自变量 $x$ 的值增加 1 时，因变量 $y$ 的值（______）

A. 增加 1 B. 减少 1 C. 增加 3 D. 减少 3

4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）

A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，9

5. 如图（示意），直线 $AB$ // $CD$，$\angle 1 = 70^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数是（______）

A. $70^\circ$ B. $80^\circ$ C. $100^\circ$ D. $110^\circ$

6. 下列图形中，不是轴对称图形的是（______）

A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 正方形

7. 若 $(x-2)(x+3) = x^2 + mx + n$，则 $m+n$ 的值为（______）

A. 5 B. -5 C. 1 D. -1

8. 一个等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长为（______）

A. 17 B. 22 C. 17 或 22 D. 13

16. 用乘法公式计算：$103 \times 97$

解：

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17. 先化简，再求值：$(2x+1)(2x-1) - (x-2)^2$，其中 $x = -1$。

解：

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四、解答题（本大题共4小题，共24分）

19.（6分）如图，点 $B$、$E$、$C$、$F$ 在同一直线上，$AB = DE$，$AC = DF$，$BE = CF$。求证：$\angle A = \angle D$。

证明：

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21.（6分）某市出租车收费标准如下：起步价 8 元（即行驶路程不超过 3 千米都需付 8 元车费），超过 3 千米以后，每增加 1 千米加收 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计）。

（1）写出车费 $y$（元）与行驶路程 $x$（千米）($x>3$) 之间的关系式；

（2）若小明乘出租车行驶了 6.5 千米，应付车费多少元？

解：（1）

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（2）

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22.（6分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$。求证：$DE = DF$。

证明：

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综合题（本大题共1小题，共14分）

23.（14分）已知直线 $l_1$ // $l_2$，点 $A$、$C$ 在 $l_1$ 上，点 $B$、$D$ 在 $l_2$ 上，连接 $AB$、$CD$。

（1）（4分）如图1，若点 $P$ 在 $l_1$、$l_2$ 之间，求证：$\angle APC = \angle PAB + \angle PCD$。

（2）（5分）如图2，若点 $P$ 在 $l_1$ 的上方，探究 $\angle APC$、$\angle PAB$、$\angle PCD$ 之间的数量关系，并说明理由。

（3）（5分）如图3，若 $AB$ // $CD$，点 $P$ 在 $l_1$、$l_2$ 之间，且 $\angle BAP = 40^\circ$，$\angle DCP = 30^\circ$，求 $\angle APC$ 的度数。

（提示：可过点 $P$ 作平行线辅助证明）

（1）证明：

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（2）解：关系为：____________________

理由：

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（3）解：

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参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B

二、填空题（每小题3分，共18分）

9. $-8a^6$ 10. $2.5 \times 10^{-5}$ 11. 相等的角是对顶角

12. 45 13. 80 14. $h = 5 + 0.3t$

三、计算与化简（每小题5分，共20分）

15. 解：原式 $= 8x^6y^3 \div (-4xy^2)$ …………（2分）

$= -2x^{5}y$ …………（5分）

16. 解：原式 $= (100+3) \times (100-3)$ …………（2分）

$= 100^2 - 3^2$ …………（4分）

$= 10000 - 9 = 9991$ …………（5分）

17. 解：原式 $= (4x^2 - 1) - (x^2 - 4x + 4)$ …………（2分）

$= 4x^2 - 1 - x^2 + 4x - 4$

$= 3x^2 + 4x - 5$ …………（4分）

当 $x = -1$ 时，原式 $= 3 \times (-1)^2 + 4 \times (-1) - 5 = 3 - 4 - 5 = -6$ …………（5分）

18. 解：$x^2 - 6x + 9 - (x^2 - 1) = 2$ …………（2分）

$x^2 - 6x + 9 - x^2 + 1 = 2$

$-6x + 10 = 2$ …………（4分）

$-6x = -8$

$x = \frac{4}{3}$ …………（5分）

四、解答题（共24分）

19.（6分）证明：∵ $BE = CF$，

∴ $BE + EC = CF + EC$，即 $BC = EF$。 …………（2分）

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，

$\begin{cases} AB = DE \\ AC = DF \\ BC = EF \end{cases}$

∴ $\triangle ABC \cong \triangle DEF$（SSS）。 …………（5分）

∴ $\angle A = \angle D$。 …………（6分）

20.（6分）解：设这个角为 $x^\circ$，则它的补角为 $(180-x)^\circ$，余角为 $(90-x)^\circ$。 …………（1分）

根据题意，得：$180 - x = 3(90 - x) + 20$。 …………（3分）

解得：$180 - x = 270 - 3x + 20$

$2x = 110$

$x = 55$。 …………（5分）

答：这个角的度数为 $55^\circ$。 …………（6分）

21.（6分）解：（1）$y = 8 + 1.5(x-3)$，即 $y = 1.5x + 3.5$ $(x>3)$。 …………（3分）

（2）当 $x = 6.5$ 时，$y = 1.5 \times 6.5 + 3.5 = 9.75 + 3.5 = 13.25$。

∵ 不足1千米按1千米计，6.5千米按7千米计。

∴ $y = 1.5 \times 7 + 3.5 = 10.5 + 3.5 = 14$。 …………（5分）

答：应付车费14元。 …………（6分）

22.（6分）证明：∵ $AB = AC$，$AD \perp BC$，

∴ $AD$ 平分 $\angle BAC$（等腰三角形三线合一）。 …………（3分）

∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，

∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 …………（6分）

五、综合题（共14分）

23.（14分）

（1）证明：过点 $P$ 作 $PE$ // $l_1$。 …………（1分）

∵ $l_1$ // $l_2$，

∴ $PE$ // $l_1$ // $l_2$。

∴ $\angle APE = \angle PAB$，$\angle CPE = \angle PCD$（两直线平行，内错角相等）。 …………（3分）

∴ $\angle APC = \angle APE + \angle CPE = \angle PAB + \angle PCD$。 …………（4分）

（2）解：关系为：$\angle APC = \angle PAB - \angle PCD$（或 $\angle APC + \angle PCD = \angle PAB$）。 …………（5分）

理由：过点 $P$ 作 $PF$ // $l_1$。 …………（6分）

∵ $l_1$ // $l_2$，

∴ $PF$ // $l_1$ // $l_2$。

∴ $\angle APF = \angle PAB$，$\angle CPF = \angle PCD$（两直线平行，内错角相等）。 …………（8分）

∴ $\angle APC = \angle APF - \angle CPF = \angle PAB - \angle PCD$。 …………（9分）

（3）解：过点 $P$ 作 $PG$ // $AB$。 …………（10分）

∵ $AB$ // $CD$，

∴ $PG$ // $AB$ // $CD$。

∴ $\angle APG = \angle BAP = 40^\circ$，$\angle CPG = \angle DCP = 30^\circ$（两直线平行，内错角相等）。 …………（12分）

∴ $\angle APC = \angle APG + \angle CPG = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ$。 …………（14分）