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数学通用学段公开试卷

试卷一

选择题（共10题） 1. 下列实数中，最小的数是（______） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 2. 2023年深圳市地区生产总值约为34600亿元，将数据34600用科学记数法表示为（______） A. 3.46 × 10 3 3.46 \times 10^3 3.46 × 1 0 3 B. 3.46 × 10 4 3.46 \times

试卷正文

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选择题（共10题）

1. 下列实数中，最小的数是（______）

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

2. 2023年深圳市地区生产总值约为34600亿元，将数据34600用科学记数法表示为（______）

A. 3.46×1033.46 \times 10^3  B. 3.46×1043.46 \times 10^4  C. 34.6×10334.6 \times 10^3  D. 0.346×1050.346 \times 10^5

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（______）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 矩形

4. 下列运算正确的是（______）

A. a2+a3=a5a^2 + a^3 = a^5  B. a2⋅a3=a6a^2 \cdot a^3 = a^6  C. (ab)2=ab2(ab)^2 = ab^2  D. (a2)3=a6(a^2)^3 = a^6

5. 一组数据：3， 5， 6， 7， 9 的中位数是（______）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6. 不等式组 {2x−1<3x+2≥0\begin{cases} 2x - 1 < 3 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} 的解集在数轴上表示正确的是（______）

A. （选项描述略） B. （选项描述略） C. （选项描述略） D. （选项描述略）

7. 如图，直线 a∥ba \parallel b， 将一个含 30∘30^\circ 角的直角三角板按如图所示放置，若 ∠1=24∘\angle 1 = 24^\circ， 则 ∠2\angle 2 的度数为（______）

A. 54∘54^\circ  B. 64∘64^\circ  C. 66∘66^\circ  D. 76∘76^\circ

8. 关于 xx 的一元二次方程 x2−2x+m=0x^2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 mm 的取值范围是（______）

A. m>1m > 1  B. m<1m < 1  C. m≥1m \ge 1  D. m≤1m \le 1

9. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：今有人合伙买物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各是多少？设人数为 xx 人，物价为 yy 钱，则可列方程组为（______）

A. {y=8x+3y=7x−4\begin{cases} y = 8x + 3 \\ y = 7x - 4 \end{cases}  B. {y=8x−3y=7x+4\begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases}  C. {8x−y=3y−7x=4\begin{cases} 8x - y = 3 \\ y - 7x = 4 \end{cases}  D. {8x−y=37x−y=4\begin{cases} 8x - y = 3 \\ 7x - y = 4 \end{cases}

10. 如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB=4AB=4， BC=6BC=6， 点 EE 是 BCBC 边的中点，连接 AEAE， 将 △ABE\triangle ABE 沿 AEAE 折叠得到 △AFE\triangle AFE， 延长 AFAF 交 CDCD 于点 GG， 则 CGCG 的长为（______）

A. 1  B. 43\frac{4}{3}  C. 32\frac{3}{2}  D. 2

填空题（共5题）

11. 分解因式：2x2−8=2x^2 - 8 =  ______

12. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ______

13. 已知 ab=23\frac{a}{b} = \frac{2}{3}， 则 a+bb=\frac{a+b}{b} =  ______

14. 如图，点 AA， BB， CC 在 ⊙O\odot O 上，∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ， 则 ∠ACB=\angle ACB =  ______ 度

15. 如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ， AC=BC=4AC=BC=4， 点 DD 是 ABAB 边的中点，点 EE， FF 分别在 ACAC， BCBC 上运动，且保持 AE=CFAE=CF， 连接 DEDE， DFDF， EFEF。在此运动变化过程中，△DEF\triangle DEF 面积的最小值是 ______


解答题（共7题）

16. 计算：(−1)2024+∣3−2∣−2sin⁡60∘+(π−3)0(-1)^{2024} + |\sqrt{3} - 2| - 2\sin60^\circ + (\pi - 3)^0

17. 先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)\frac{x}{x^2-1} \div (1 - \frac{1}{x+1})， 其中 x=2+1x = \sqrt{2} + 1。

18. 为培养学生劳动习惯，某校开展了“周末我当家”主题活动。为了解学生周末家务劳动时间（单位：小时），学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表。 

（1）本次调查共抽取了 ______ 名学生，扇形统计图中 CC 组对应的圆心角是 ______ 度。

（2）请补全条形统计图。 

（3）已知该校有2000名学生，请估计该校周末家务劳动时间不低于1.5小时的学生人数。

19. 如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB = AC， 以 ABAB 为直径的 ⊙O\odot O 交 BCBC 于点 DD， 过点 DD 作 DE⊥ACDE \perp AC， 垂足为点 EE。

（1）求证：DEDE 是 ⊙O\odot O 的切线。

（2）若 CD=2CD=2， tan⁡C=2\tan C = 2， 求 ⊙O\odot O 的半径。

20. 某超市计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的进价比乙商品的进价每件多10元，用600元购进甲商品的件数与用480元购进乙商品的件数相同。 

（1）求甲、乙两种商品每件的进价。 

（2）甲商品每件的售价定为65元，乙商品每件的售价定为50元。超市决定购进甲、乙两种商品共100件，且用于购买这100件商品的资金不超过5600元。若甲商品按原售价销售，乙商品打折销售，全部售完后使总利润不低于1250元，求乙商品最多可以打几折？

21. 【探究】如图1，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ， AC=BCAC=BC， 点 DD， EE 分别在边 ABAB， ACAC 上，且 DE⊥ACDE \perp AC， 连接 BEBE， 点 MM， NN， PP 分别为 DEDE， BEBE， BCBC 的中点。

（1）观察猜想：图1中，线段 PMPM 与 PNPN 的数量关系是 ______ ，位置关系是 ______ 。

（2）探究证明：将 △ADE\triangle ADE 绕点 AA 逆时针旋转到图2的位置，连接 BDBD， CECE， 判断 △PMN\triangle PMN 的形状，并说明理由。

【应用】（3）如图3，将 △ADE\triangle ADE 绕点 AA 逆时针旋转，连接 BDBD， CECE， 若 AB=5AB=5， AD=3AD=3， 在旋转过程中，△PMN\triangle PMN 面积的最大值为 ______ 。

22. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3y = ax^2 + bx + 3 与 xx 轴交于 A(−1,0)A(-1, 0)， B(3,0)B(3, 0) 两点，与 yy 轴交于点 CC。

（1）求抛物线的解析式。 

（2）点 PP 是抛物线上一点（不与点 CC 重合），连接 APAP， 将线段 APAP 绕点 AA 逆时针旋转 90∘90^\circ 得到线段 AQAQ， 若点 QQ 恰好落在坐标轴上，求点 PP 的坐标。

（3）点 MM 为抛物线对称轴上的一个动点，连接 MBMB， MCMC， 求 △MBC\triangle MBC 周长的最小值。