数学通用学段公开试卷

湘教版初三数学摸底试卷

湘教版初三数学摸底试卷（满分：100分考试时间：90分钟）完成时间：_______ 分钟得分：_______ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 题号一二三四五总分分数注意事项： 1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。 2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。 3. 选择题答案请填

试卷正文

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湘教版初三数学摸底试卷

（满分：100分考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

题号	一	二	三	四	五	总分
分数

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。

3. 选择题答案请填在题后的括号内，填空题答案直接写在横线上。

4. 解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

5. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（______）

A. $x + 2 = 0$ B. $x^2 + 2x + 1 = 0$ C. $x^2 + y = 1$ D. $\frac{1}{x} + x = 0$

2. 方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根是（______）

A. $x_1 = 1, x_2 = 3$ B. $x_1 = -1, x_2 = -3$ C. $x_1 = 1, x_2 = -3$ D. $x_1 = -1, x_2 = 3$

3. 二次函数 $y = x^2 - 2x + 1$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1, 0)$ B. $(-1, 0)$ C. $(0, 1)$ D. $(0, -1)$

4. 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ ， $AB = 5$ ， $BC = 3$ ，则 $\sin A$ 的值是（______）

A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{3}$

5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（______）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆

6. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2, -3)$ ，则 $k$ 的值为（______）

A. $-6$ B. $6$ C. $-\frac{2}{3}$ D. $\frac{2}{3}$

7. 一组数据 $2, 3, 5, 7, 8$ 的中位数是（______）

A. $3$ B. $5$ C. $7$ D. $8$

8. 下列计算正确的是（______）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $a^6 \div a^2 = a^3$ D. $a^3 + a^3 = 2a^3$

9. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为（______）

A. $1$ B. $-1$ C. $2$ D. $-2$

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $DE \parallel BC$ ， $AD = 2$ ， $DB = 3$ ，则 $\frac{DE}{BC}$ 的值为（______）

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{2}$

二、填空题（共8题，每题3分，共24分）

11. 分解因式： $x^2 - 4 =$ ______	12. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 ______
13. 计算： $\sqrt{8} - \sqrt{2} =$ ______	14. 不等式组 $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 4 \leq 0 \end{cases}$ 的解集是 ______
15. 已知扇形的圆心角为 $60^\circ$ ，半径为 $3$ ，则扇形的弧长为 ______	16. 若 $a - b = 2$ ， $a + b = 4$ ，则 $a^2 - b^2 =$ ______
17. 抛物线 $y = x^2 - 4x + 3$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 ______	18. 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A = 50^\circ$ ， $\angle B = 60^\circ$ ，则 $\angle C =$ ______

三、解答题（共6题，共46分）

19.（6分） 解方程： $x^2 - 4x - 5 = 0$

解：

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20.（6分） 计算： $(\frac{1}{2})^{-1} + | -3 | - \sqrt{9} + ( \pi - 3.14 )^0$

解：

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21.（8分） 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A(1, 3)$ 和点 $B(-1, -1)$ ，求该一次函数的解析式。

解：

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22.（8分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ ， $\angle A = 30^\circ$ ， $AB = 10$ ，求 $BC$ 和 $AC$ 的长。

解：

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23.（8分） 某商店将进价为 $8$ 元的商品按每件 $10$ 元出售，每天可售出 $100$ 件。经市场调查发现，如果每件涨价 $1$ 元，每天销量减少 $10$ 件。设每件涨价 $x$ 元，每天利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？

解：

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24.（10分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于点 $E$ 。

（1）求证： $DE$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\angle C = 30^\circ$ ， $AB = 4$ ，求 $DE$ 的长。

解：

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参考答案

一、选择题

1. B 2. A 3. A 4. B 5. D 6. A 7. B 8. D 9. A 10. B

二、填空题

11. $(x + 2)(x - 2)$ 12. $x \geq 1$ 13. $\sqrt{2}$ 14. $-1 < x \leq 2$ 15. $\pi$ 16. $8$ 17. $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$ 18. $70^\circ$

三、解答题

19. 解： $x^2 - 4x - 5 = 0$ ， $(x - 5)(x + 1) = 0$ ， $x_1 = 5$ ， $x_2 = -1$ 。

20. 解：原式 $= 2 + 3 - 3 + 1 = 3$ 。

21. 解：将 $A(1, 3)$ 和 $B(-1, -1)$ 代入 $y = kx + b$ ，得 $\begin{cases} k + b = 3 \\ -k + b = -1 \end{cases}$ ，解得 $k = 2$ ， $b = 1$ 。所以一次函数解析式为 $y = 2x + 1$ 。

22. 解：在 $\triangle ABC$ 中， $\angle C = 90^\circ$ ， $\angle A = 30^\circ$ ， $AB = 10$ ，所以 $BC = AB \cdot \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ ， $AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ 。

23. 解：（1） $y = (10 + x - 8)(100 - 10x) = (x + 2)(100 - 10x) = -10x^2 + 80x + 200$ （ $0 \leq x \leq 10$ ）。

（2） $y = -10x^2 + 80x + 200 = -10(x - 4)^2 + 360$ ，当 $x = 4$ 时， $y$ 有最大值 $360$ 。此时售价为 $10 + 4 = 14$ 元。所以当售价定为 $14$ 元时，每天利润最大，最大利润为 $360$ 元。

24. （1）证明：连接 $OD$ 。因为 $AB = AC$ ，所以 $\angle B = \angle C$ 。因为 $OB = OD$ ，所以 $\angle B = \angle ODB$ ，所以 $\angle ODB = \angle C$ ，所以 $OD \parallel AC$ 。因为 $DE \perp AC$ ，所以 $DE \perp OD$ ，所以 $DE$ 是 $\odot O$ 的切线。

（2）解：因为 $AB = 4$ ，所以 $OD = 2$ 。因为 $\angle C = 30^\circ$ ， $OD \parallel AC$ ，所以 $\angle ODB = \angle C = 30^\circ$ ，所以 $\angle B = 30^\circ$ 。在 $\triangle OBD$ 中， $\angle B = 30^\circ$ ， $OD = 2$ ，所以 $BD = 2\sqrt{3}$ 。因为 $AB = AC$ ， $OD \parallel AC$ ，所以 $BD = DC = 2\sqrt{3}$ 。在 $\triangle DEC$ 中， $\angle C = 30^\circ$ ， $DC = 2\sqrt{3}$ ，所以 $DE = DC \cdot \sin 30^\circ = 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ 。

评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

每题选对得3分，选错或不选得0分。

二、填空题（每题3分，共24分）

每题填对得3分，填错或不填得0分。

三、解答题（共46分）

19题：解方程正确得6分，写出因式分解过程得3分，写出两个根各得1.5分。

20题：计算正确得6分，每算对一个部分得1分，最后结果正确得2分。

21题：列出方程组得2分，解出k和b各得2分，写出解析式得2分。

22题：写出BC=5得3分，写出AC=5√3得3分，过程完整得2分。

23题：（1）写出函数关系式得4分；（2）配方正确得2分，求出最大值和售价各得1分。

24题：（1）证明切线正确得4分；（2）求出DE的长得6分，过程完整得2分。