2026年全国乙卷高考数学必刷题

（满分：150分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共12题，每题5分，共60分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_3 = 5$，$S_5 = 35$，则公差 $d =$（______）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知 $\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{3}$，则 $\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) =$（______）

A. $\frac{1}{3}$  B. $-\frac{1}{3}$  C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$  D. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 \cdot a_6 = 16$，$a_4 = 4$，则 $a_8 =$（______）

A. 16 B. 32 C. 64 D. 128

4. 函数 $f(x) = 2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos 2x$ 的最小正周期是（______）

A. $\pi$  B. $2\pi$  C. $\frac{\pi}{2}$  D. $4\pi$

5. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ $(n \in \mathbb{N}^*)$，则 $a_{2026} =$（______）

A. $\frac{1}{2026}$  B. $\frac{2}{2027}$  C. $\frac{1}{1013}$  D. $\frac{2}{2025}$

6. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $a = 2$，$b = \sqrt{6}$，$A = \frac{\pi}{4}$，则 $\sin B =$（______）

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$  B. $\frac{\sqrt{6}}{4}$  C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$  D. $\frac{1}{2}$

7. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n = n^2 - 2n$，则 $|a_1| + |a_2| + ... + |a_{10}| =$（______）

A. 45 B. 50 C. 55 D. 65

8. 将函数 $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$ 的图象向左平移 $m$ $(m > 0)$ 个单位长度后，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值为（______）

A. $\frac{\pi}{12}$  B. $\frac{\pi}{6}$  C. $\frac{\pi}{3}$  D. $\frac{5\pi}{12}$

9. 已知 $\tan \theta = 2$，则 $\frac{\sin 2\theta - \cos^2 \theta}{1 + \cos 2\theta} =$（______）

A. $\frac{1}{2}$  B. $\frac{2}{3}$  C. $\frac{3}{4}$  D. 1

10. 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$，公差为 $d$ $(d \neq 0)$ 的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$。若 $S_5$，$S_{10}$，$S_{15}$ 成等比数列，则 $\frac{a_1}{d} =$（______）

A. $-\frac{1}{2}$  B. $-\frac{1}{4}$  C. $\frac{1}{4}$  D. $\frac{1}{2}$

11. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$，则此三角形的最大内角的余弦值为（______）

A. $-\frac{1}{2}$  B. $-\frac{1}{4}$  C. $\frac{1}{4}$  D. $\frac{1}{2}$

12. 已知函数 $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$ $(A > 0, \omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2})$ 的部分图象如图所示（图略），若 $f(0) = 1$，且对任意 $x \in \mathbb{R}$，$f(x) \leq f(\frac{\pi}{6})$，则 $\omega$ 的取值集合为（______）

A. $\{6k + 2, k \in \mathbb{Z}\}$  B. $\{6k + 1, k \in \mathbb{Z}\}$  C. $\{3k + 2, k \in \mathbb{Z}\}$  D. $\{3k + 1, k \in \mathbb{Z}\}$

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n - 2$，则其通项公式 $a_n =$ __________。

14. 已知 $\alpha \in (0, \pi)$，且 $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5}$，则 $\tan \alpha =$ __________。

15. 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 1$，$a_{n} \cdot a_{n+1} = 2^n$ $(n \in \mathbb{N}^*)$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2n$ 项和 $S_{2n} =$ __________。

16. 已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{4})$ $(\omega > 0)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上有且仅有 $3$ 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 __________。

三、解答题（共6题，共70分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前三项依次为 $a-2$，$2a+1$，$4a-2$。

（1）求实数 $a$ 的值及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$。

答：________________________________________________________________

18. （12分）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，且 $b \cos C + c \cos B = 2a \cos A$。

（1）求角 $A$ 的大小；

（2）若 $a = 2$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b+c$ 的值。

答：________________________________________________________________

19. （12分）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$S_n = \frac{n}{2} a_n$，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$