高一数学综合练习卷（人教A版 必修一+必修二6-8章）
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共8题，每题5分） 1. 已知集合 A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } A = \{x \mid -2 < x \le 3\} A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } ，B = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 } B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 \ge 0\} B = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 } ，则 A ∩ B = A \cap B = A ∩ B = （______）
A. ( − 2 , 1 ] (-2, 1] ( − 2 , 1 ] B. ( − 2 , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) (-2, 1] \cup [3, +\infty) ( − 2 , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) C. [ 1 , 3 ] [1, 3] [ 1 , 3 ] D. ( − 2 , 1 ] ∪ ( 3 , + ∞ ) (-2, 1] \cup (3, +\infty) ( − 2 , 1 ] ∪ ( 3 , + ∞ )
2. 已知 a = log 0.5 3 a = \log_{0.5} 3 a = log 0.5 3 ，b = 0.5 0.3 b = 0.5^{0.3} b = 0. 5 0.3 ，c = 3 0.5 c = 3^{0.5} c = 3 0.5 ，则 a , b , c a, b, c a , b , c 的大小关系是（______）
A. a < b < c a < b < c a < b < c B. b < a < c b < a < c b < a < c C. c < b < a c < b < a c < b < a D. a < c < b a < c < b a < c < b
3. 函数 f ( x ) = ln ( x 2 − 3 x + 2 ) f(x) = \ln(x^2 - 3x + 2) f ( x ) = ln ( x 2 − 3 x + 2 ) 的单调递增区间是（______）
A. ( − ∞ , 1 ) (-\infty, 1) ( − ∞ , 1 ) B. ( 2 , + ∞ ) (2, +\infty) ( 2 , + ∞ ) C. ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) D. ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 )
4. 已知角 α \alpha α 的终边经过点 P ( − 3 , 4 ) P(-3, 4) P ( − 3 , 4 ) ，则 sin ( π − α ) + cos ( π 2 + α ) = \sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = sin ( π − α ) + cos ( 2 π + α ) = （______）
A. − 1 5 -\frac{1}{5} − 5 1 B. 1 5 \frac{1}{5} 5 1 C. − 7 5 -\frac{7}{5} − 5 7 D. 7 5 \frac{7}{5} 5 7
5. 要得到函数 y = sin ( 2 x − π 3 ) y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}) y = sin ( 2 x − 3 π ) 的图象，只需将函数 y = sin 2 x y = \sin 2x y = sin 2 x 的图象（______）
A. 向左平移 π 6 \frac{\pi}{6} 6 π 个单位 B. 向右平移 π 6 \frac{\pi}{6} 6 π 个单位 C. 向左平移 π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 个单位 D. 向右平移 π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 个单位
6. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，若 sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7 sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则角 C C C 的大小为（______）
A. π 6 \frac{\pi}{6} 6 π B. π 3 \frac{\pi}{3} 3 π C. 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π D. 5 π 6 \frac{5\pi}{6} 6 5 π
7. 已知向量 a ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec{a} = (1, 2) a = ( 1 , 2 ) ，b ⃗ = ( x , 4 ) \vec{b} = (x, 4) b = ( x , 4 ) ，且 a ⃗ ∥ b ⃗ \vec{a} \parallel \vec{b} a ∥ b ，则 ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ = |\vec{a} - \vec{b}| = ∣ a − b ∣ = （______）
A. 5 \sqrt{5} 5 B. 5 5 5 C. 2 5 2\sqrt{5} 2 5 D. 5 2 5\sqrt{2} 5 2
8. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，D D D 为 B C BC B C 边上一点，且 B D → = 2 D C → \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} B D = 2 D C 。若 A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB} = \vec{a} A B = a ，A C → = b ⃗ \overrightarrow{AC} = \vec{b} A C = b ，则 A D → = \overrightarrow{AD} = A D = （______）
A. 1 3 a ⃗ + 2 3 b ⃗ \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} 3 1 a + 3 2 b B. 2 3 a ⃗ + 1 3 b ⃗ \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} 3 2 a + 3 1 b C. 1 2 a ⃗ + 1 2 b ⃗ \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} 2 1 a + 2 1 b D. 3 4 a ⃗ + 1 4 b ⃗ \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} 4 3 a + 4 1 b
二、填空题（共6题，每题5分） 9. 函数 f ( x ) = 4 − x x − 1 f(x) = \frac{\sqrt{4-x}}{x-1} f ( x ) = x − 1 4 − x 的定义域为______。
10. 已知 f ( x ) f(x) f ( x ) 是定义在 R \mathbb{R} R 上的奇函数，当 x > 0 x > 0 x > 0 时，f ( x ) = x 2 − 2 x f(x) = x^2 - 2x f ( x ) = x 2 − 2 x ，则 f ( − 1 ) = f(-1) = f ( − 1 ) = ______。
11. 计算：( 1 2 ) − 2 + log 3 27 − 8 2 3 = (\frac{1}{2})^{-2} + \log_3 27 - 8^{\frac{2}{3}} = ( 2 1 ) − 2 + log 3 27 − 8 3 2 = ______。
12. 已知 sin α + cos α = 1 3 \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3} sin α + cos α = 3 1 ，则 sin 2 α = \sin 2\alpha = sin 2 α = ______。
13. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，a = 4 a=4 a = 4 ，b = 5 b=5 b = 5 ，c = 6 c=6 c = 6 ，则 cos A = \cos A = cos A = ______。
14. 已知 ∣ a ⃗ ∣ = 2 |\vec{a}| = 2 ∣ a ∣ = 2 ，∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec{b}| = 3 ∣ b ∣ = 3 ，a ⃗ \vec{a} a 与 b ⃗ \vec{b} b 的夹角为 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ ，则 ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ = |\vec{a} + \vec{b}| = ∣ a + b ∣ = ______。
三、解答题（共6题，共70分） 15. （10分）已知全集 U = R U = \mathbb{R} U = R ，集合 A = { x ∣ 3 x > 9 } A = \{x \mid 3^x > 9\} A = { x ∣ 3 x > 9 } ，B = { x ∣ log 2 ( x − 1 ) ≤ 2 } B = \{x \mid \log_2(x-1) \le 2\} B = { x ∣ log 2 ( x − 1 ) ≤ 2 } 。
（1）求 A ∪ B A \cup B A ∪ B ；
（2）求 ( ∁ U A ) ∩ B (\complement_U A) \cap B ( ∁ U A ) ∩ B 。
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
16. （10分）已知函数 f ( x ) = 2 sin x cos x + 2 3 cos 2 x − 3 f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} f ( x ) = 2 sin x cos x + 2 3 cos 2 x − 3 。
（1）求函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 x ∈ [ 0 , π 2 ] x \in [0, \frac{\pi}{2}] x ∈ [ 0 , 2 π ] 时，求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的值域。
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
17. （12分）在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，内角 A , B , C A, B, C A , B , C 所对的边分别为 a , b , c a, b, c a , b , c ，且满足 2 b cos A = c cos A + a cos C 2b \cos A = c \cos A + a \cos C 2 b cos A = c cos A + a cos C 。
（1）求角 A A A 的大小；
（2）若 a = 7 a = \sqrt{7} a = 7 ，b + c = 5 b + c = 5 b + c = 5 ，求 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的面积。
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
18. （12分）已知向量 a ⃗ = ( cos x , sin x ) \vec{a} = (\cos x, \sin x) a = ( cos x , sin x ) ，b ⃗ = ( 3 , − 1 ) \vec{b} = (\sqrt{3}, -1) b = ( 3 , − 1 ) ，函数 f ( x ) = a ⃗ ⋅ b ⃗ f(x) = \vec{a} \cdot \vec{b} f ( x ) = a ⋅ b 。
（1）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的解析式及最小正周期；
（2）若将函数 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 的图象向左平移 m ( m > 0 ) m(m > 0) m ( m > 0 ) 个单位后，所得图象关于 y y y 轴对称，求 m m m 的最小值。
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
19. （13分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 x x x 千件，需另投入成本 C ( x ) C(x) C ( x ) （万元）。当年产量不足80千件时，C ( x ) = 1 3 x 2 + 10 x C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x C ( x ) = 3 1 x 2 + 10 x ；当年产量不小于80千件时，C ( x ) = 51 x + 10000 x − 1450 C(x) = 51x + \frac{10000}{x} - 1450 C ( x ) = 51 x + x 10000 − 1450 。已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
（1）写出年利润 L ( x ) L(x) L ( x ) （万元）关于年产量 x x x （千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________
20. （13分）已知函数 f ( x ) = log a ( 1 + x ) f(x) = \log_a (1+x) f ( x ) = log a ( 1 + x ) ，g ( x ) = log a ( 1 − x ) g(x) = \log_a (1-x) g ( x ) = log a ( 1 − x ) ，其中 a > 0 a > 0 a > 0 且 a ≠ 1 a \neq 1 a = 1 。
（1）求函数 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) F(x) = f(x) + g(x) F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的定义域，并判断 F ( x ) F(x) F ( x ) 的奇偶性；
（2）若关于 x x x 的方程 f ( x ) = 2 + g ( 2 x ) f(x) = 2 + g(2x) f ( x ) = 2 + g ( 2 x ) 有实数解，求实数 a a a 的取值范围。
答：
（1）________________________________________
（2）________________________________________