一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）
A. 3cm， 5cm， 8cm B. 5cm， 5cm， 11cm C. 4cm， 6cm， 9cm D. 2cm， 3cm， 6cm
2. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中， ∠ A = 50 ∘ \angle A = 50^\circ ∠ A = 5 0 ∘ ， ∠ B = 70 ∘ \angle B = 70^\circ ∠ B = 7 0 ∘ ，则 ∠ C \angle C ∠ C 的度数是（______）
A. 50 ∘ 50^\circ 5 0 ∘ B. 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ C. 70 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ D. 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘
3. 三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点，其中一定在三角形内部的是（______）
A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. B和C都对
4. 如图（示意），已知 A B = A D AB = AD A B = A D ， ∠ 1 = ∠ 2 \angle 1 = \angle 2 ∠1 = ∠2 ，要使得 △ A B C ≅ △ A D C \triangle ABC \cong \triangle ADC △ A B C ≅ △ A D C ，需要添加的一个条件是（______）
A. ∠ B = ∠ D \angle B = \angle D ∠ B = ∠ D B. ∠ 3 = ∠ 4 \angle 3 = \angle 4 ∠3 = ∠4 C. B C = D C BC = DC B C = D C D. A C = A C AC = AC A C = A C
5. 若一个三角形的两个内角分别为 40 ∘ 40^\circ 4 0 ∘ 和 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ ，则这个三角形是（______）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
6. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长是（______）
A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13
7. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中， ∠ A = ∠ B = 1 2 ∠ C \angle A = \angle B = \frac{1}{2} \angle C ∠ A = ∠ B = 2 1 ∠ C ，则 △ A B C \triangle ABC △ A B C 是（______）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
8. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（______）
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一个锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等
9. 如图（示意），A D AD A D 是 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的中线，D E DE D E 是 △ A D C \triangle ADC △ A D C 的高线，若 S △ A B D = 6 S_{\triangle ABD}=6 S △ A B D = 6 ， A B = 4 AB=4 A B = 4 ，则 D E DE D E 的长为（______）
A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6
10. 如图（示意），在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB=AC A B = A C ， ∠ A = 36 ∘ \angle A=36^\circ ∠ A = 3 6 ∘ ，B D BD B D 、C E CE C E 分别是 ∠ A B C \angle ABC ∠ A B C 、∠ A C B \angle ACB ∠ A C B 的平分线，则图中等腰三角形的个数是（______）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 等边三角形的每一个内角等于______度。
12. 已知 △ A B C ≅ △ D E F \triangle ABC \cong \triangle DEF △ A B C ≅ △ D E F ，若 A B = 5 AB=5 A B = 5 ， B C = 7 BC=7 B C = 7 ， C A = 9 CA=9 C A = 9 ，则 E F = EF= E F = ______。
13. 若直角三角形的一个锐角为 28 ∘ 28^\circ 2 8 ∘ ，则另一个锐角的度数为______。
14. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边 x x x 的取值范围是______。
15. 如图（示意），A D ⊥ B C AD \perp BC A D ⊥ B C 于点 D D D ，则以 A D AD A D 为高的三角形有______个。
16. 一个三角形的面积是 24 cm 2 24 \text{cm}^2 24 cm 2 ，它的一条边长为 8 cm 8 \text{cm} 8 cm ，则这条边上的高为______ cm。
17. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4 \angle A : \angle B : \angle C = 2:3:4 ∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4 ，则 ∠ C = \angle C = ∠ C = ______。
18. 如图（示意），A C = B D AC=BD A C = B D ，要使 △ A B C ≅ △ D C B \triangle ABC \cong \triangle DCB △ A B C ≅ △ D C B ，可以添加的一个条件是______。（写出一种即可）
三、解答题（本大题共4小题，第19题5分，第20题6分，第21题7分，第22题8分，共26分） 19. （5分）尺规作图：已知 ∠ A O B \angle AOB ∠ A O B ，求作 ∠ A O B \angle AOB ∠ A O B 的角平分线 O C OC O C 。（保留作图痕迹，不写作法）
答：作图区域
20. （6分）已知：如图，点 B B B ， F F F ， C C C ， E E E 在同一直线上，A B = D E AB=DE A B = D E ， A C = D F AC=DF A C = D F ， B F = E C BF=EC B F = E C 。求证：∠ A = ∠ D \angle A = \angle D ∠ A = ∠ D 。
证明：
21. （7分）在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB=AC A B = A C ， ∠ B A C = 120 ∘ \angle BAC=120^\circ ∠ B A C = 12 0 ∘ ，D D D 是 B C BC B C 边上一点，且 B D = A D BD=AD B D = A D 。求 ∠ A D C \angle ADC ∠ A D C 的度数。
解：
22. （8分）探究：已知 a a a ， b b b ， c c c 是 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的三边长。
（1）化简：∣ a + b − c ∣ − ∣ b − a − c ∣ |a+b-c| - |b-a-c| ∣ a + b − c ∣ − ∣ b − a − c ∣ ；
（2）若 a a a ， b b b ， c c c 满足 a 2 + b 2 + c 2 = a b + b c + a c a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac a 2 + b 2 + c 2 = ab + b c + a c ，判断 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的形状。
解：
四、实际应用题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 23. （6分）工程建筑中经常采用三角形结构，例如屋顶的钢架、输电铁塔等。请运用所学数学知识解释，为什么三角形结构具有稳定性？
答：
24. （6分）如图，要测量池塘两岸相对的两点 A A A ， B B B 的距离，可以在池塘外取一点 C C C ，连接 A C AC A C ， B C BC B C ，并分别延长到点 D D D ， E E E ，使 C D = C A CD=CA C D = C A ， C E = C B CE=CB C E = C B 。连接 D E DE D E ，那么量出 D E DE D E 的长就是 A B AB A B 的长。请说明其中的道理。
解：
五、拓展探究题（本大题共1小题，共8分）
25. （8分）已知 △ A B C \triangle ABC △ A B C 和 △ A D E \triangle ADE △ A D E 都是等边三角形。
（1）如图1，当点 D D D 在线段 B C BC B C 上时，求证：B D = C E BD=CE B D = C E ；
（2）如图2，当点 D D D 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 外部时，（1）中的结论 B D = C E BD=CE B D = C E 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（3）在（2）的条件下，连接 B E BE B E ，若 ∠ B E C = 30 ∘ \angle BEC=30^\circ ∠ B E C = 3 0 ∘ ，求 ∠ A D B \angle ADB ∠ A D B 的度数。
（注：本题所有图形均为示意，需自行画图分析）
解：
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题2分，共20分） 1. C 2. B 3. D 4. C 5. B 6. B 7. B 8. D 9. B 10. D
二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 60 12. 7 13. 62° 14. 4 < x < 10 4 < x < 10 4 < x < 10
15. 6 16. 6 17. 80° 18. ∠ A C B = ∠ D B C \angle ACB = \angle DBC ∠ A C B = ∠ D B C 或 A B = D C AB=DC A B = D C （答案不唯一）
三、解答题（共26分） 19. （5分）
尺规作图步骤（略）。正确作出角平分线，痕迹清晰，得5分。未保留作图痕迹或作法有误酌情扣分。
20. （6分）
证明：∵ B F = E C BF=EC B F = E C ，
∴ B F + F C = E C + F C BF+FC=EC+FC B F + F C = E C + F C ，即 B C = E F BC=EF B C = E F 。 …………（2分）
在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 和 △ D E F \triangle DEF △ D E F 中，
{ A B = D E A C = D F B C = E F \begin{cases} AB=DE \\ AC=DF \\ BC=EF \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ A B = D E A C = D F B C = E F
∴ △ A B C ≅ △ D E F \triangle ABC \cong \triangle DEF △ A B C ≅ △ D E F （SSS）。 …………（4分）
∴ ∠ A = ∠ D \angle A = \angle D ∠ A = ∠ D （全等三角形对应角相等）。 …………（6分）
21. （7分）
解：∵ A B = A C AB=AC A B = A C ， ∠ B A C = 120 ∘ \angle BAC=120^\circ ∠ B A C = 12 0 ∘ ，
∴ ∠ B = ∠ C = 180 ∘ − 120 ∘ 2 = 30 ∘ \angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ ∠ B = ∠ C = 2 18 0 ∘ − 12 0 ∘ = 3 0 ∘ 。 …………（2分）
∵ B D = A D BD=AD B D = A D ，
∴ ∠ B A D = ∠ B = 30 ∘ \angle BAD = \angle B = 30^\circ ∠ B A D = ∠ B = 3 0 ∘ 。 …………（4分）
∴ ∠ A D C = ∠ B + ∠ B A D = 30 ∘ + 30 ∘ = 60 ∘ \angle ADC = \angle B + \angle BAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ ∠ A D C = ∠ B + ∠ B A D = 3 0 ∘ + 3 0 ∘ = 6 0 ∘ 。（三角形外角定理） …………（7分）
22. （8分）
解：（1）∵ a a a ， b b b ， c c c 是 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的三边长，
∴ a + b > c a+b > c a + b > c ， b − a < c b-a < c b − a < c 即 b − a − c < 0 b-a-c < 0 b − a − c < 0 。 …………（2分）
∴ ∣ a + b − c ∣ − ∣ b − a − c ∣ = ( a + b − c ) − [ − ( b − a − c ) ] |a+b-c| - |b-a-c| = (a+b-c) - [-(b-a-c)] ∣ a + b − c ∣ − ∣ b − a − c ∣ = ( a + b − c ) − [ − ( b − a − c )]
= a + b − c + b − a − c = 2 b − 2 c = a+b-c + b - a - c = 2b - 2c = a + b − c + b − a − c = 2 b − 2 c 。 …………（4分）
（2）∵ a 2 + b 2 + c 2 = a b + b c + a c a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac a 2 + b 2 + c 2 = ab + b c + a c ，
∴ 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 − 2 a b − 2 b c − 2 a c = 0 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 − 2 ab − 2 b c − 2 a c = 0 。
∴ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 = 0 (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 = 0 。 …………（6分）
∴ a − b = 0 a-b=0 a − b = 0 ， b − c = 0 b-c=0 b − c = 0 ， c − a = 0 c-a=0 c − a = 0 。
∴ a = b = c a=b=c a = b = c 。
∴ △ A B C \triangle ABC △ A B C 是等边三角形。 …………（8分）
四、实际应用题（共12分） 23. （6分）
答：三角形一旦三边长度确定，其形状和大小就唯一确定，无法改变。（3分）这是因为三角形具有“边边边（SSS）”全等判定条件，只要三边不变，三角形的内角也不会改变，从而结构稳固。（3分）（言之有理即可给分）
24. （6分）
解：在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 和 △ D E C \triangle DEC △ D E C 中，
∵ C D = C A CD=CA C D = C A ， C E = C B CE=CB C E = C B ，（已知）
∠ A C B = ∠ D C E \angle ACB = \angle DCE ∠ A C B = ∠ D C E ，（对顶角相等） …………（3分）
∴ △ A B C ≅ △ D E C \triangle ABC \cong \triangle DEC △ A B C ≅ △ D E C （SAS）。 …………（5分）
∴ A B = D E AB=DE A B = D E （全等三角形对应边相等）。
因此，量出 D E DE D E 的长就等于 A B AB A B 的长。 …………（6分）
五、拓展探究题（8分） 25. （8分）
（1）证明：∵ △ A B C \triangle ABC △ A B C 和 △ A D E \triangle ADE △ A D E 是等边三角形，
∴ A B = A C AB=AC A B = A C ， A D = A E AD=AE A D = A E ， ∠ B A C = ∠ D A E = 60 ∘ \angle BAC = \angle DAE = 60^\circ ∠ B A C = ∠ D A E = 6 0 ∘ 。
∴ ∠ B A C − ∠ D A C = ∠ D A E − ∠ D A C \angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC ∠ B A C − ∠ D A C = ∠ D A E − ∠ D A C ，即 ∠ B A D = ∠ C A E \angle BAD = \angle CAE ∠ B A D = ∠ C A E 。 …………（1分）
在 △ B A D \triangle BAD △ B A D 和 △ C A E \triangle CAE △ C A E 中，
{ A B = A C ∠ B A D = ∠ C A E A D = A E \begin{cases} AB=AC \\ \angle BAD = \angle CAE \\ AD=AE \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ A B = A C ∠ B A D = ∠ C A E A D = A E
∴ △ B A D ≅ △ C A E \triangle BAD \cong \triangle CAE △ B A D ≅ △ C A E （SAS）。
∴ B D = C E BD=CE B D = C E 。 …………（2分）
（2）成立。 …………（3分）
证明：∵ $\triangle