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数学小学期末试卷

试卷2026/6/11

中职一年级数学期末试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 题号 一 二 三 四 总分 分数 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。 2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡对

试卷正文

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中职一年级数学期末试卷


（满分：150分 考试时间：120分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________



题号

一

二

三

四

总分

分数







注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡对应题号位置；填空题和解答题请用黑色签字笔直接答在试卷上。

3. 保持卷面整洁，书写工整。



一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。


1. 已知集合 A={x∣−2<x≤3}A = \{x | -2 < x \le 3\}，B={0,1,2,3}B = \{0, 1, 2, 3\}，则 A∩B=A \cap B =（______）


A. {0,1,2}\{0, 1, 2\} B. {1,2,3}\{1, 2, 3\} C. {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} D. {−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}

2. 函数 y=3x−6y = \sqrt{3x - 6} 的定义域是（______）


A. [2,+∞)[2, +\infty) B. (2,+∞)(2, +\infty) C. (−∞,2](-\infty, 2] D. (−∞,2)(-\infty, 2)

3. sin⁡120∘\sin 120^\circ 的值等于（______）


A. 12\frac{1}{2} B. −12-\frac{1}{2} C. 32\frac{\sqrt{3}}{2} D. −32-\frac{\sqrt{3}}{2}

4. 已知向量 a⃗=(2,−1)\vec{a} = (2, -1)，b⃗=(m,3)\vec{b} = (m, 3)，若 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}，则 m=m =（______）


A. 32\frac{3}{2} B. −32-\frac{3}{2} C. 6 D. -6

5. 不等式 ∣2x−1∣<3|2x - 1| < 3 的解集是（______）


A. (−1,2)(-1, 2) B. (−2,1)(-2, 1) C. (−∞,−1)∪(2,+∞)(-\infty, -1) \cup (2, +\infty) D. (−∞,−2)∪(1,+∞)(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)

6. 已知角 α\alpha 的终边经过点 P(4,−3)P(4, -3)，则 cos⁡α=\cos \alpha =（______）


A. 45\frac{4}{5} B. −45-\frac{4}{5} C. 35\frac{3}{5} D. −35-\frac{3}{5}

7. 在等差数列 {an}\{a_n\} 中，已知 a1=2a_1 = 2，d=3d = 3，则 a10=a_{10} =（______）


A. 27 B. 28 C. 29 D. 30

8. 下列函数中，在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数的是（______）


A. y=−x2y = -x^2 B. y=1xy = \frac{1}{x} C. y=2xy = 2^x D. y=log⁡12xy = \log_{\frac{1}{2}} x


9. 已知 a⃗=(2,1)\vec{a} = (2, 1)，b⃗=(−1,3)\vec{b} = (-1, 3)，则 2a⃗−b⃗=2\vec{a} - \vec{b} =（______）


A. (3,−1)(3, -1) B. (5,−1)(5, -1) C. (3,5)(3, 5) D. (5,5)(5, 5)

10. 已知 sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，且 α\alpha 是第二象限角，则 tan⁡α=\tan \alpha =（______）


A. 34\frac{3}{4} B. −34-\frac{3}{4} C. 43\frac{4}{3} D. −43-\frac{4}{3}

11. 已知直线 l1:y=2x+1l_1: y = 2x + 1，l2:y=kx−3l_2: y = kx - 3，若 l1∥l2l_1 \parallel l_2，则 k=k =（______）


A. 2 B. -2 C. 12\frac{1}{2} D. −12-\frac{1}{2}

12. 一个几何体的三视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（______）


A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

13. 从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中任取两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是（______）


A. 110\frac{1}{10} B. 310\frac{3}{10} C. 15\frac{1}{5} D. 35\frac{3}{5}

14. 复数 z=3−4iz = 3 - 4i 的模 ∣z∣=|z| =（______）


A. 5 B. 7 C. 7\sqrt{7} D. 1

15. 已知函数 f(x)={x2+1,x≤12x−1,x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}，则 f(f(0))=f(f(0)) =（______）


A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）



16. lg⁡100+log⁡28=\lg 100 + \log_2 8 = ______。

17. 已知 a⃗=(1,2)\vec{a} = (1, 2)，则 ∣a⃗∣=|\vec{a}| = ______。

18. cos⁡215∘−sin⁡215∘=\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = ______。

19. 在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1 = 1，q=2q = 2，则 S4=S_4 = ______。

20. 已知点 A(1,2)A(1, 2)，B(4,5)B(4, 5)，则线段 ABAB 的中点坐标为 ______。



三、解答题（本大题共4小题，共50分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。


21. （本小题满分12分）



已知 sin⁡α=513\sin \alpha = \frac{5}{13}，且 α∈(π2,π)\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)。



（1）求 cos⁡α\cos \alpha 的值；（6分）



（2）求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值。（6分）

答：（1）________________________________________




（2）________________________________________


22. （本小题满分13分）



已知向量 a⃗=(3,4)\vec{a} = (3, 4)，b⃗=(2,−1)\vec{b} = (2, -1)。



（1）求 a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}；（4分）



（2）求向量 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 的夹角 θ\theta 的余弦值；（5分）



（3）求 ∣2a⃗−3b⃗∣|2\vec{a} - 3\vec{b}|。（4分）

答：（1）________________________________________




（2）________________________________________




（3）________________________________________


23. （本小题满分15分）



如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=4AB = 4，BC=3BC = 3，AA1=5AA_1 = 5。



（1）求长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的体积；（5分）



（2）求直线 BD1BD_1 与平面 ABCDABCD 所成角的正弦值。（10分）


（说明：可用文字描述图形，无需画图）

答：（1）________________________________________




（2）________________________________________


24. （本小题满分20分）


某商场举行抽奖活动，箱中装有大小、质地完全相同的10个球，其中红球3个，白球7个。顾客从中随机抽取2个球，按以下规则获得奖金：


① 若抽到2个红球，奖金100元；


② 若抽到1个红球1个白球，奖金20元；


③ 若抽到2个白球，奖金0元。


（1）求顾客抽到2个红球的概率；（6分）


（2）求顾客抽到1个红球1个白球的概率；（6分）



（3）设顾客获得的奖金为 XX 元，求 XX 的分布列及数学期望 E(X)E(X)。（8分）

答：（1）________________________________________




（2）________________________________________




（3）________________________________________

✕

参考答案及评分标准


一、选择题（每题5分，共75分）


1. A

2. A

3. C

4. A

5. A

6. A

7. C

8. C

9. B

10. B

11. A

12. C

13. B

14. A

15. D

难度说明： 第1-12题、14题为简单题（80%），第13、15题为中等题（10%），无困难选择题。


二、填空题（每题5分，共25分）

16. 5



17. 5\sqrt{5}



18. 32\frac{\sqrt{3}}{2}


19. 15



20. (52,72)(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}) 或 (2.5,3.5)(2.5, 3.5)

难度说明： 第16-20题均为简单题。


三、解答题（共50分）

21. （12分）

解：（1）因为 α∈(π2,π)\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)，所以 cos⁡α<0\cos \alpha < 0。 …………（2分）



由 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1，得 cos⁡2α=1−(513)2=1−25169=144169\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}。 …………（4分）



所以 cos⁡α=−144169=−1213\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}。 …………（6分）

（2）sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2×513×(−1213)=−120169\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{5}{13} \times (-\frac{12}{13}) = -\frac{120}{169}。 …………（6分）

评分标准：（1）写出 cos⁡α<0\cos \alpha < 0 得2分，正确写出平方关系并计算得4分，结果正确得6分。（2）公式正确得3分，代入计算正确得6分。

难度：简单。


22. （13分）

解：（1）a⃗⋅b⃗=3×2+4×(−1)=6−4=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2。 …………（4分）

（2）∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5，∣b⃗∣=22+(−1)2=5|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}。 …………（2分）



cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=25×5=2525\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2}{5 \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25}。 …………（5分）

（3）2a⃗−3b⃗=2(3,4)−3(2,−1)=(6,8)−(6,−3)=(0,11)2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(3, 4) - 3(2, -1) = (6, 8) - (6, -3) = (0, 11)。 …………（2分）



∣2a⃗−3b⃗∣=02+112=11|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 11^2} = 11。 …………（4分）

评分标准：（1）结果正确得4分。（2）分别算出模长得1分，公式正确得1分，计算正确得5分。（3）正确算出向量得2分，算出模长得4分。

难度：中等。


23. （15分）

解：（1）体积 V=AB×BC×AA1=4×3×5=60V = AB \times BC \times AA_1 = 4 \times 3 \times 5 = 60。 …………（5分）

（2）连接 BDBD。在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，DD1⊥DD_1 \perp 平面 ABCDABCD。



所以 BDBD 是 BD1BD_1 在平面 ABCDABCD 内的射影，



故 ∠D1BD\angle D_1BD 即为直线 BD1BD_1 与平面 ABCDABCD 所成的角。 …………（4分）



在矩形 ABCDABCD 中，BD=AB2+BC2=42+32=5BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5。 …………（2分）



在直角三角形 D1DBD_1DB 中，DD1=AA1=5DD_1 = AA_1 = 5，BD=5BD = 5，



所以 BD1=DD12+BD2=52+52=52BD_1 = \sqrt{DD_1^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}。 …………（2分）



所以 sin⁡∠D1BD=DD1BD1=552=22\sin \angle D_1BD = \frac{DD_1}{BD_1} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}。 …………（2分）



即直线 BD1BD_1 与平面 ABCDABCD 所成角的正弦值为 22\frac{\sqrt{2}}{2}。

评分标准：（1）公式和结果正确得5分。（2）正确指出线面角得4分，求出BDBD长得2分，求出BD1BD_1长得2分，求出正弦值得2分。

难度：困难。


24. （20分）

解：（1）设事件A=“抽到2个红球”。



P(A)=C32C102=345=115P(A) = \frac{C_3^2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}。 …………（6分）

（2）设事件B=“抽到1个红球1个白球”。



P(B)=C31C71C102=3×745=2145=715P(B) = \frac{C_3^1 C_7^1}{C_{10}^2} = \frac{3 \times 7}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}。 …………（6分）

（3）XX 的所有可能取值为 0，20，100。 …………（1分）



P(X=100)=P(A)=115P(X=100) = P(A) = \frac{1}{15}。



P(X=20)=P(B)=715P(X=20) = P(B) = \frac{7}{15}。



P(X=0)=C72C102=2145=715P(X=0) = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}。 …………（3分）



所以 XX 的分布列为：


XX

0

20

100

PP

715\frac{7}{15}

715\frac{7}{15}

115\frac{1}{15}



（3）XX 的所有可能取值为 0，20，100。 …………（1分）



P(X=100)=P(A)=115P(X=100) = P(A) = \frac{1}{15}。



P(X=20)=P(B)=715P(X=20) = P(B) = \frac{7}{15}。



P(X=0)=C72C102=2145=715P(X=0) = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}。 …………（3分）



所以 XX 的分布列为：

XX

0

20

100

PP

715\frac{7}{15}

715\frac{7}{15}

115\frac{1}{15}

…………（2分）

数学期望 E(X)=0×715+20×715+100×115=0+140+10015=24015=16E(X) = 0 \times \frac{7}{15} + 20 \times \frac{7}{15} + 100 \times \frac{1}{15} = \frac{0 + 140 + 100}{15} = \frac{240}{15} = 16（元）。 …………（2分）

评分标准：

难度：