高一人教版数学上册综合测试题

姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________

一、单项选择题（共5题）

1. 已知集合 $A = \{x | -2 < x \le 3\}$， $B = \{x | x \ge 0\}$，则 $A \cap B =$ （  ）

A. $\{x | 0 \le x \le 3\}$     B. $\{x | 0 < x \le 3\}$     C. $\{x | -2 < x \le 3\}$     D. $\{x | x \ge 0\}$

2. 命题“$\forall x \in \mathbb{R}， x^2 + 2x + 2 > 0$”的否定是（  ）

A. $\forall x \in \mathbb{R}， x^2 + 2x + 2 \le 0$     B. $\exists x \in \mathbb{R}， x^2 + 2x + 2 \le 0$

C. $\exists x \in \mathbb{R}， x^2 + 2x + 2 < 0$     D. $\forall x \in \mathbb{R}， x^2 + 2x + 2 < 0$

3. 已知 $a > b > 0$， $c < 0$，则下列不等式一定成立的是（  ）

A. $ac > bc$     B. $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$     C. $a - c < b - c$     D. $a^2c < b^2c$

4. 函数 $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$ 的定义域是（  ）

A. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$     B. $(1, 3)$     C. $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$     D. $[1, 3]$

5. 已知函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \\ 2x + 3, & x > 1 \end{cases} $，则 $f(f(0)) =$ （  ）

A. 1     B. 5     C. 7     D. 13

二、多项选择题（共2题）

6. （多选题）下列各组函数中，表示同一函数的是（  ）

A. $f(x) = |x|$， $g(t) = \sqrt{t^2}$

B. $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$， $g(x) = x + 1$

C. $f(x) = \sqrt{x^2}$， $g(x) = (\sqrt{x})^2$

D. $f(x) = x^0$， $g(x) = 1$

7. （多选题）已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $\{x | -2 < x < 3\}$，则下列结论正确的是（  ）

A. $a < 0$

B. $a + b + c > 0$

C. 不等式 $cx^2 - bx + a < 0$ 的解集为 $\{x | x < -\frac{1}{3} 或 x > \frac{1}{2}\}$

D. $c > 0$

三、填空题（共2题）

8. 已知 $x > 0$， $y > 0$，且 $x + 2y = 4$，则 $xy$ 的最大值为 __________。

9. 函数 $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$ 的定义域用区间表示为 __________。

四、解答题（共3题）

10. 已知全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = \{x | 3 \le x < 7\}$， $B = \{x | 2 < x \le 10\}$。

求：（1）$A \cup B$； （2）$(\complement_U A) \cap B$。

11. 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当 $x \ge 0$ 时， $f(x) = x^2 - 2x$。

（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；

（2）画出函数 $f(x)$ 的简图（草图即可），并根据图象写出 $f(x)$ 的单调递增区间。

12. 某工厂生产某种产品的总成本 $C$（万元）与年产量 $x$（吨）之间的关系为 $C = 10000 + 20x + 0.1x^2$，该产品的销售单价 $p$（万元/吨）与年产量 $x$ 的关系为 $p = 100 - 0.1x$。

（1）写出年利润 $L$（万元）关于年产量 $x$（吨）的函数关系式；

（2）年产量为多少吨时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？

参考答案

一、单项选择题

1. A    2. B    3. D    4. A    5. C

二、多项选择题

6. AD    7. ABC

三、填空题

8. 2    9. $(-\infty, 1) \cup (1, 4]$

四、解答题

10. 解：（1）$A \cup B = \{x | 2 < x \le 10\}$。

（2）$\complement_U A = \{x | x < 3 或 x \ge 7\}$，

所以 $(\complement_U A) \cap B = \{x | 2 < x < 3 或 7 \le x \le 10\}$。

11. 解：（1）当 $x < 0$ 时， $-x > 0$，则 $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。

因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(x) = -f(-x) = -x^2 - 2x$。

故 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases} $。

（2）函数图象略（关于原点中心对称，在 $(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$ 上递增，在 $[-1, 1]$ 上递减）。

单调递增区间为：$(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$。

12. 解：（1）年销售收入为 $px = (100 - 0.1x)x = 100x - 0.1x^2$。

年利润 $L = px - C = (100x - 0.1x^2) - (10000 + 20x + 0.1x^2) = -0.2x^2 + 80x - 10000$， $(x > 0)$。

（2）$L = -0.2x^2 + 80x - 10000 = -0.2(x - 200)^2 + 7000$。

因为 $-0.2 < 0$，所以当 $x = 200$ 时， $L$ 取得最大值，最大值为 $7000$ 万元。

答：年产量为200吨时，年利润最大，最大利润为7000万元。