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初三数学摸底试卷

初三数学摸底试卷 （满分：100分 考试时间：90分钟） 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 注意事项： 1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。 2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。 3. 选择题答案请填在括号

试卷正文

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初三数学摸底试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

题号

一

二

三

四

五

总分

分数







注意事项：

1. 答题前请先填写姓名、学号和班级。

2. 请用黑色签字笔或钢笔答题，保持卷面整洁。

3. 选择题答案请填在括号内，填空题答案直接写在横线上。

4. 解答题需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

5. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（______）

A. x+2y=1x + 2y = 1  B. x2+1=0x^2 + 1 = 0  C. x2+1x=3x^2 + \frac{1}{x} = 3  D. x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

2. 二次函数 y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（______）

A. (2,−1)(2, -1)  B. (−2,−1)(-2, -1)  C. (2,1)(2, 1)  D. (−2,1)(-2, 1)

3. 在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，AB=5AB = 5，BC=3BC = 3，则 sin⁡A\sin A 的值为（______）

A. 35\frac{3}{5}  B. 45\frac{4}{5}  C. 34\frac{3}{4}  D. 43\frac{4}{3}

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（______）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆

5. 关于 xx 的一元二次方程 x2−2x+m=0x^2 - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 mm 的取值范围是（______）

A. m<1m < 1  B. m>1m > 1  C. m≤1m \le 1  D. m≥1m \ge 1

6. 已知 ⊙O\odot O 的半径为 55，点 PP 到圆心 OO 的距离为 33，则点 PP 与 ⊙O\odot O 的位置关系是（______）

A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定

7. 下列计算正确的是（______）

A. 2+3=5\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}  B. 23×32=662\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6}  C. (−3)2=−3\sqrt{(-3)^2} = -3  D. 8÷2=4\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4

8. 一个不透明的袋子中装有 22 个红球和 33 个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（______）

A. 25\frac{2}{5}  B. 35\frac{3}{5}  C. 23\frac{2}{3}  D. 12\frac{1}{2}

9. 若反比例函数 y=kxy = \frac{k}{x} 的图象经过点 (−2,3)(-2, 3)，则该函数的图象在（______）

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

10. 如图，在 △ABC\triangle ABC 中，DE∥BCDE \parallel BC，AD:DB=1:2AD:DB = 1:2，则 △ADE\triangle ADE 与 △ABC\triangle ABC 的面积比为（______）

A. 1:21:2  B. 1:31:3  C. 1:41:4  D. 1:91:9

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）

11. 分解因式：x2−9=x^2 - 9 =  ______。

12. 函数 y=x−2y = \sqrt{x-2} 中，自变量 xx 的取值范围是 ______。

13. 在平面直角坐标系中，点 P(2,−3)P(2, -3) 关于原点对称的点的坐标是 ______。

14. 已知扇形的圆心角为 120∘120^\circ，半径为 33，则该扇形的弧长为 ______（结果保留 π\pi）。

15. 若 x=2x = 2 是方程 x2−mx+6=0x^2 - mx + 6 = 0 的一个根，则 mm 的值为 ______。

16. 观察下列等式：12=11^2 = 1，12−22=−31^2 - 2^2 = -3，12−22+32=61^2 - 2^2 + 3^2 = 6，12−22+32−42=−101^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 = -10，……，按此规律，第 nn 个等式为 ______。

三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. 计算：(12)−1+∣−3∣−12+(π−3)0(\frac{1}{2})^{-1} + |-\sqrt{3}| - \sqrt{12} + (\pi - 3)^0。

答：________________________________________________________________________

18. 解方程：x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0。

答：________________________________________________________________________

19. 先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x−2\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \div \frac{x+2}{x-2}，其中 x=3x = 3。

答：________________________________________________________________________

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

20. 如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB = AC，以 ABAB 为直径的 ⊙O\odot O 交 BCBC 于点 DD，交 ACAC 于点 EE。

（1）求证：BD=DCBD = DC；

（2）若 ∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ，求 BD^\widehat{BD} 的度数。

答：（1）________________________________________________________________________

（2）________________________________________________________________________

21. 某商场销售一种商品，进价为每件 4040 元。经调查，当售价为每件 5050 元时，每月可售出 500500 件；售价每提高 11 元，月销售量减少 1010 件。设售价为每件 xx 元（x≥50x \ge 50），月利润为 yy 元。

（1）求 yy 关于 xx 的函数解析式；

（2）售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

答：（1）________________________________________________________________________

（2）________________________________________________________________________

五、解答题（本大题共1小题，共18分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

22. 已知抛物线 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c 经过点 A(−1,0)A(-1, 0)，B(3,0)B(3, 0)，C(0,−3)C(0, -3)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）若点 PP 是抛物线上一点，且 △PAB\triangle PAB 的面积为 88，求点 PP 的坐标。

答：（1）________________________________________________________________________

（2）________________________________________________________________________

（3）________________________________________________________________________

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参考答案

一、选择题

1. B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. A 7. B 8. A 9. B 10. D

二、填空题

11. (x+3)(x−3)(x+3)(x-3) 12. x≥2x \ge 2 13. (−2,3)(-2, 3) 14. 2π2\pi 15. 55 16. 12−22+32−42+⋯+(−1)n+1n2=(−1)n+1⋅n(n+1)21^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}

三、解答题

17. 解：原式 =2+3−23+1=3−3= 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - \sqrt{3}。

18. 解：x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0，(x−5)(x+1)=0(x-5)(x+1) = 0，x1=5x_1 = 5，x2=−1x_2 = -1。

19. 解：原式 =(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x−2x+2=1= \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{x+2} = 1。当 x=3x = 3 时，原式 =1= 1。

四、解答题

20. （1）证明：连接 ADAD。∵AB\because AB 为直径，∴∠ADB=90∘\therefore \angle ADB = 90^\circ。又 ∵AB=AC\because AB = AC，∴△ABC\therefore \triangle ABC 为等腰三角形，∴AD\therefore AD 为 BCBC 边上的中线，∴BD=DC\therefore BD = DC。

（2）解：∵∠BAC=40∘\because \angle BAC = 40^\circ，AB=ACAB = AC，∴∠ABC=∠ACB=70∘\therefore \angle ABC = \angle ACB = 70^\circ。连接 ODOD，则 ∠BOD=2∠BAD\angle BOD = 2\angle BAD。∵AD⊥BC\because AD \perp BC，∠BAD=20∘\angle BAD = 20^\circ，∴∠BOD=40∘\therefore \angle BOD = 40^\circ，∴BD^\therefore \widehat{BD} 的度数为 40∘40^\circ。

21. 解：（1）y=(x−40)[500−10(x−50)]=(x−40)(1000−10x)=−10x2+1400x−40000y = (x-40)[500 - 10(x-50)] = (x-40)(1000 - 10x) = -10x^2 + 1400x - 40000（x≥50x \ge 50）。

（2）y=−10(x2−140x)−40000=−10(x−70)2+9000y = -10(x^2 - 140x) - 40000 = -10(x-70)^2 + 9000。∵−10<0\because -10 < 0，∴\therefore 当 x=70x = 70 时，yy 有最大值 90009000。答：售价定为 7070 元时，月利润最大，最大月利润为 90009000 元。

五、解答题

22. 解：（1）设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x−3)y = a(x+1)(x-3)，代入 C(0,−3)C(0, -3) 得 −3=a⋅1⋅(−3)-3 = a \cdot 1 \cdot (-3)，解得 a=1a = 1，∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3\therefore y = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3。

（2）y=x2−2x−3=(x−1)2−4y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4，顶点坐标为 (1,−4)(1, -4)，对称轴为直线 x=1x = 1。

（3）设点 PP 的坐标为 (m,m2−2m−3)(m, m^2 - 2m - 3)。∵AB=4\because AB = 4，△PAB\triangle PAB 的面积为 88，∴12×4×∣m2−2m−3∣=8\therefore \frac{1}{2} \times 4 \times |m^2 - 2m - 3| = 8，即 ∣m2−2m−3∣=4|m^2 - 2m - 3| = 4。当 m2−2m−3=4m^2 - 2m - 3 = 4 时，m2−2m−7=0m^2 - 2m - 7 = 0，解得 m=1±22m = 1 \pm 2\sqrt{2}；当 m2−2m−3=−4m^2 - 2m - 3 = -4 时，m2−2m+1=0m^2 - 2m + 1 = 0，解得 m=1m = 1。∴\therefore 点 PP 的坐标为 (1+22,4)(1+2\sqrt{2}, 4)，(1−22,4)(1-2\sqrt{2}, 4) 或 (1,−4)(1, -4)。