八年级数学期中考试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（共4题，每题10分，共40分）

1. 如图，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$CD \perp AB$于点$D$，$\angle A = 65^\circ$，则$\angle BCD =$ ________$^\circ$。

2. 化简：$\sqrt{(2x-5)^2} - (\sqrt{3x-7})^2 =$ ________。（其中 $x \ge \frac{7}{3}$）

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$是$AB$的中点，$CD = 5$，$BC = 6$，则$AB =$ ________，$AC =$ ________。

4. 如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，$AC \perp BD$，$AC = BD = 8$，$\angle AOD = 60^\circ$，$AD = 2\sqrt{3}$，则$AB =$ ________，$BC =$ ________。

二、解答题（共3题，共60分）

26. （本题10分）如图，在梯形$ABCD$中，$AD \parallel BC$，$\angle B = 90^\circ$，$AB = 6$ cm，$AD = 24$ cm，$BC = 30$ cm。点$P$从点$B$出发，以每秒1 cm的速度向点$C$运动，同时点$Q$从点$D$出发，以每秒2 cm的速度向点$A$运动。规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。

(1) 运动时间为$t$秒时，$PC =$ ________ cm，$AQ =$ ________ cm。（用含$t$的式子表示）

(2) 当四边形$ABQP$是矩形时，求$t$的值。

(3) 当$PQ = CD$时，求$t$的值。

27. （本题12分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 8$，$BC = 10$。点$M$从点$A$出发，沿$A \to B \to C$的路径以每秒2个单位的速度向点$C$运动；点$N$从点$C$出发，沿$C \to D \to A$的路径以每秒1个单位的速度向点$A$运动。两点同时出发，当点$M$到达点$C$时，两点同时停止运动。设运动时间为$t$秒。

(1) 当$0 < t \le 4$时，用含$t$的代数式表示$BM$和$DN$的长度。

(2) 连接$MN$，当$\triangle CMN$为直角三角形时，求$t$的值。

(3) 在整个运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得四边形$AMCN$