2026年全国乙卷高考数学押题卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、解答题（本大题共10小题，满分100分）

1. （简单，10分）已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$ 的值。

解：

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2. （简单，10分）已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距和离心率。

解：

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3. （简单，10分）在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，底面 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle ABC = 90^\circ$，$AB = BC = 2$，侧棱 $AA_1 = 4$。求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积。

解：

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4. （简单，10分）已知函数 $f(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})$，求 $f(x)$ 的最小正周期、振幅和初相。

解：

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5. （简单，10分）已知双曲线 $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$ 上一点 $P$ 到两焦点距离之差的绝对值为10，求点 $P$ 的纵坐标可能的值。

解：

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6. （中等，8分）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，且满足 $2b \cos A = a \cos C + c \cos A$。

（1）求角 $B$ 的大小；

（2）若 $b = \sqrt{3}$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $a + c$ 的值。

解：

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7. （中等，8分）已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，且过点 $(4, \sqrt{6})$。

（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；

（2）设 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $\angle F_1PF_2 = 60^\circ$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

解：

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8. （中等，8分）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为2的正方形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = 2$，$E$ 为 $PD$ 的中点。

（1）求证：$PB \parallel$ 平面 $ACE$；

（2）求三棱锥 $C-ABE$ 的体积。

（注：题目中“如图”仅为描述，无需依赖图片信息，请根据文字描述作答。）

解：

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9. （中等，8分）已知函数 $f(x) = \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x + \cos^2 \omega x - \frac{1}{2} (\omega > 0)$ 的最小正周期为 $\pi$。

（1）求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 的单调递增区间；

（2）若将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值和最小值。

解：

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10. （困难，8分）已知双曲线 $C: x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 的坐标为 $(4, 0)$。

（1）若直线 $l$ 的倾斜角为 $60^\circ$，求 $|MN|$；

（2）设直线 $PM, PN$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，试探究 $k_1 + k_2$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

解：

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