河南省焦作市高一数学预科班结课检测试卷（北师大版）

完成时间：______分钟 得分：______

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，则 $A \cap B =$（______）

A. $\{1, 2\}$ B. $\{2, 3\}$ C. $\{3, 4\}$ D. $\{1, 4\}$

2. 若 $a > 0$，$b > 0$，则下列不等式恒成立的是（______）

A. $a + b \leq 2\sqrt{ab}$ B. $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ C. $ab \geq \frac{a+b}{2}$ D. $a^2 + b^2 \leq 2ab$

3. 不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$ 的解集是（______）

A. $(-1, 3)$ B. $(-3, 1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ D. $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$

4. 函数 $f(x) = \sqrt{x-2}$ 的定义域是（______）

A. $[2, +\infty)$ B. $(2, +\infty)$ C. $(-\infty, 2]$ D. $(-\infty, 2)$

5. 已知集合 $M = \{x | -2 \le x \le 2\}$，$N = \{x | x > a\}$，若 $M \subseteq N$，则实数 $a$ 的取值范围是（______）

A. $a < -2$ B. $a \le -2$ C. $a > 2$ D. $a \ge 2$

6. 下列函数中，在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增的是（______）

A. $y = -x + 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2$ D. $y = \sqrt{x}$

7. 已知 $x > 1$，则 $x + \frac{4}{x-1}$ 的最小值为（______）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 函数 $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ 的最大值是（______）

A. 1 B. 0 C. -3 D. 不存在

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

5. 若 $x > 0$，则 $2x + \frac{1}{x}$ 的最小值为______。

6. 若关于 $x$ 的不等式 $x^2 + mx + 1 > 0$ 的解集为 $\mathbb{R}$，则实数 $m$ 的取值范围是______。

三、解答题（本大题共4小题，共52分）

7. （10分）已知全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = \{x | 1 \le x \le 4\}$，$B = \{x | 3 \le x \le 6\}$。

求：（1）$A \cup B$；（2）$A \cap B$；（3）$(\complement_U A) \cap B$。

解：

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8. （12分）解下列不等式组：

（1）$x^2 - 5x + 6 \le 0$

（2）$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 2 \le 0 \end{cases}$

解：

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9. （14分）已知函数 $f(x) = \sqrt{4-x} + \frac{1}{x+1}$。

（1）求函数 $f(x)$ 的定义域；

（2）求 $f(-2)$ 与 $f(0)$ 的值；

（3）当 $x$ 在定义域内取何值时，函数值 $f(x)$ 大于 2？

解：

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10. （16分）某农场要建造一个长方形养鸡场，一面靠墙（墙的长度足够长），另外三面用栅栏围成。现有栅栏总长为 40 米。

（1）设养鸡场靠墙的一边长为 $x$ 米，面积为 $y$ 平方米，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并注明定义域；

（2）当 $x$ 取何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？

解：

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参考答案

一、选择题

1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. D 7. C 8. A

二、填空题

1. $\{0, 1, 2\}$ 2. $[-\frac{1}{2}, 1]$ 3. 7 4. $(-\infty, 2]$ 5. $2\sqrt{2}$ 6. $(-2, 2)$

三、解答题

7. 解：（1）$A \cup B = \{x | 1 \le x \le 6\}$。

（2）$A \cap B = \{x | 3 \le x \le 4\}$。

（3）$\complement_U A = \{x | x < 1 \text{ 或 } x > 4\}$，所以 $(\complement_U A) \cap B = \{x | 4 < x \le 6\}$。

8. 解：（1）不等式 $x^2 - 5x + 6 \le 0$ 可化为 $(x-2)(x-3) \le 0$，解得 $2 \le x \le 3$。解集为 $[2, 3]$。

（2）解不等式 $x^2 - 4 > 0$，得 $x < -2$ 或 $x > 2$。

解不等式 $x - 2 \le 0$，得 $x \le 2$。

取交集，得原不等式组的解集为 $\{x | x < -2\}$。

9. 解：（1）要使函数有意义，需满足 $\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$，解得 $x \le 4$ 且 $x \ne -1$。

所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, -1) \cup (-1, 4]$。

（2）$f(-2) = \sqrt{4-(-2)} + \frac{1}{-2+1} = \sqrt{6} - 1$。

$f(0) = \sqrt{4-0} + \frac{1}{0+1} = 2 + 1 = 3$。

（3）由 $f(x) > 2$，得 $\sqrt{4-x} + \frac{1}{x+1} > 2$。

移项得 $\sqrt{4-x} > 2 - \frac{1}{x+1}$。

首先考虑右边非负的条件：$2 - \frac{1}{x+1} \ge 0$，解得 $x \le -\frac{1}{2}$ 或 $x > -1$。

结合定义域 $x \le 4$ 且 $x \ne -1$，此时 $x$ 的范围是 $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup (-1, 4]$。

在此条件下，两边平方：$4 - x > (2 - \frac{1}{x+1})^2 = 4 - \frac{4}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$。

整理得 $-x > -\frac{4}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$，即 $\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{4}{x+1} + x < 0$。

令 $t = \frac{1}{x+1}$，则不等式化为 $t^2 - 4t + x < 0$。由于 $x = \frac{1}{t} - 1$，代入得：

$t^2 - 4t + \frac{1}{t} - 1 < 0$，两边乘以 $t$ (需考虑 $t$ 的正负，过程略)，最终解得 $x < 0$ 且 $x \ne -1$。

再结合之前 $x \le -\frac{1}{2}$ 或 $x > -1$ 的条件，得到最终解集为 $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup (-1, 0)$。

所以，当 $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup (-1, 0)$ 时，$f(x) > 2$。

10. 解：（1）由题意，养鸡场垂直于墙的一边长为 $\frac{40 - x}{2}$ 米。

则面积 $y = x \cdot \frac{40 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$。

由实际意义，$x > 0$ 且 $\frac{40 - x}{2} > 0$，解得 $0 < x < 40$。

所以 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式为 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x$，定义域为 $(0, 40)$。

（2）$y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x = -\frac{1}{2}(x^2 - 40x) = -\frac{1}{2}[(x-20)^2 - 400] = -\frac{1}{2}(x-20)^2 + 200$。

因为 $-\frac{1}{2} < 0$，且 $x = 20$ 在定义域 $(0, 40)$ 内，

所以当 $x = 20$ 时，$y$ 取得最大值，最大值为 $200$。

答：当靠墙的一边长为 $20$ 米时，养鸡场面积最大，最大面积为 $200$ 平方米。