八年级下册数学综合测试卷

完成时间：______ 分钟 得分：______

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 一个多边形的内角和是 $1260^\circ$，则这个多边形的边数是（______）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

2. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle A : \angle B = 2 : 3$，则 $\angle D$ 的度数为（______）

A. $36^\circ$  B. $72^\circ$  C. $108^\circ$  D. $144^\circ$

3. 下列条件中，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是（______）

A. $AB \parallel CD$，$AD \parallel BC$  B. $AB = CD$，$AD = BC$

C. $\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$  D. $AB \parallel CD$，$AD = BC$

4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（______）

A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角互补

5. 在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$ 是 $AB$ 的中点，$CD = 5$ cm，则 $AB$ 的长度为（______）

A. 5 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm

二、填空题（每空3分，共15分）

三、解答题（共50分）

1. （6分）已知一个多边形的每一个内角都等于 $150^\circ$，求这个多边形的边数。

解：

2. （8分）在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$ 分别在边 $AD$、$BC$ 上，且 $AE = CF$。连接 $BE$、$DF$。求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形。

证明：

3. （8分）在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$BC$、$CA$ 的中点。若 $AC = 10$，$BC = 14$，$AB = 12$，求 $\triangle DEF$ 的周长。

解：

4. （8分）在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，点 $E$、$F$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点。求证：四边形 $AEDF$ 是矩形。

证明：

5. （10分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，$\angle AOB = 60^\circ$，$AB = 4$ cm。

(1) 求对角线 $AC$ 的长度。

(2) 求矩形 $ABCD$ 的面积。

解：（1）

（2）

6. （10分）在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$ 是 $AB$ 的中点，$E$、$F$ 分别是 $AC$、$BC$ 上的点，且 $DE \perp DF$。

(1) 求证：$AE^2 + BF^2 = EF^2$。

(2) 若 $AC = 6$，$BC = 8$，连接 $CD$，求 $CD$ 的长度。

证明与解：（1）

（2）

四、综合题（共20分）

1. （10分）在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB > AD$，$\angle BAD$ 的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$，$\angle ADC$ 的平分线 $DF$ 交 $AB$ 于点 $F$，$AE$ 与 $DF$ 相交于点 $O$。

(1) 求证：$AE \perp DF$。

(2) 若 $AB = 10$，$AD = 6$，求线段 $EF$ 的长度。

（1）证明：

（2）解：

2. （10分）已知，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 12$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 边以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $B$ 运动；同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 边以每秒 $2$ 个单位长度的速度向点 $C$ 运动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 $t$ 秒 ($0 < t < 6$)。

(1) 当 $t$ 为何值时，$\triangle PBQ$ 的面积等于 $8$？

(2) 连接 $AC$、$PQ$，是否存在某一时刻 $t$，使得 $PQ$ 平行于 $AC$？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）

（2）