大学微积分练习题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共5题，每题4分）

1. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的极限是（      ）

A. 0    B. 1    C. 不存在    D. $\infty$

2. 设 $y = \ln(\sec x + \tan x)$，则 $y'$ 等于（      ）

A. $\sec x$    B. $\csc x$    C. $\tan x$    D. $\cot x$

3. 下列广义积分中收敛的是（ ）

A. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$    B. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$    C. $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$    D. $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$

4. 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径是（      ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. $\infty$

5. 函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处两个偏导数存在，则在该点（      ）

A. 函数连续 B. 函数可微 C. 方向导数存在 D. 以上都不一定成立

二、填空题（共5题，每题4分）

1. 设 $f(x) = x^3 e^{2x}$，则 $f^{(4)}(0) =$ ________。

2. 曲线 $y = x \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为 ________。

3. 定积分 $\int_{-1}^{1} (x^3 \cos x + \sqrt{1-x^2}) dx =$ ________。

4. 微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 的通解为 ________。

5. 改变二次积分次序：$\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x, y) dy =$ ________。

三、计算题（共4题，每题10分）

1. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$。

解：

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2. 设函数 $y = y(x)$ 由方程 $\arctan(\frac{y}{x}) = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

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3. 计算不定积分 $\int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx$。

解：

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4. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} x^n$