高中数学解析几何综合练习（椭圆与抛物线）

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一、解答题（共4题）

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为 4。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点 $(0,-2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$，求 $|AB|$。

解：

已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3,\dfrac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上两点。

（1）求 $C$ 的离心率；

（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$，且 $\triangle ABP$ 的面积为 9，求 $l$ 的方程。

解：

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0,t)(t>\sqrt{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，$C(0,1)$，连接 $AC$ 交椭圆于 $D$。

（1）求椭圆方程和离心率；

（2）若直线 $BD$ 的斜率为 0，求 $t$。

解：

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合。过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A$，$B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C$，$D$ 两点，且 $|CD|=\dfrac{4}{3}|AB|$。

（1）求 $C_1$ 的离心率；

（2）设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点，若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程。

解：