北师大2024版初中数学八年级下册期末考试试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡对应题号位置；填空题和解答题请用黑色签字笔直接答在试卷上。

3. 保持卷面整洁，书写工整。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（______）

A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C. $\sqrt{12}$ D. $\sqrt{7}$

2. 在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\angle A + \angle C = 200^\circ$，则 $\angle B$ 的度数为（______）

A. $80^\circ$ B. $100^\circ$ C. $120^\circ$ D. $160^\circ$

3. 一次函数 $y = -2x + 3$ 的图象不经过的象限是（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 下列计算正确的是（______）

A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$ C. $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ D. $(\sqrt{5})^2 = 5\sqrt{5}$

5. 甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远测试，每人跳3次，平均成绩均为2.4米，方差如下表所示：

则这四名同学中立定跳远成绩最稳定的是（______）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（______）

A. $m > 1$ B. $m < 1$ C. $m \leq 1$ D. $m \geq 1$

7. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle AOB = 60^\circ$，$AB=4cm$，则矩形对角线的长为（______）

A. $4cm$ B. $8cm$ C. $4\sqrt{3}cm$ D. $8\sqrt{3}cm$

8. 将直线 $y = 2x - 1$ 向上平移3个单位长度后，所得直线的表达式为（______）

A. $y = 2x + 2$ B. $y = 2x - 4$ C. $y = 2x + 3$ D. $y = 2x - 3$

9. 下列命题的逆命题是真命题的是（______）

A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若 $a=b$，则 $|a|=|b|$ D. 两直线平行，同位角相等

10. 学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学代表学校参加市里的“数学素养大赛”，四人的平均成绩 $\bar{x}$ 及方差 $s^2$ 如下表所示：

如果要选出一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（______）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接填写在题中的横线上。

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（6分） 计算：

(1) $\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}$                                                  (2) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{3} - 1)^2$

解：                                                                                      解：

18.（6分） 解方程：

(1) $x^2 - 4x - 5 = 0$

(2) $2x(x-3) = x - 3$

解：(1)

(2)

19.（7分） 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$AD$ 上，且 $BE = DF$，连接 $AE$，$CF$。求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形。

证明：

20.（7分） 为了解某校八年级学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了 $30$ 名学生进行调查，获得的数据如下（单位：小时）：

5， 3， 4， 6， 2， 4， 5， 3， 7， 4，

5， 6， 4， 3， 5， 4， 6， 5， 4， 3，

4， 5， 6， 3， 4， 5， 4， 6， 5， 4。

对以上数据进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：

请根据图表信息，解答下列问题：

(1) 表中 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2) 补全频数分布直方图（在试卷上画出草图即可）；

(3) 若该校八年级共有 $600$ 名学生，请你估计每周课外阅读时间不少于 $4$ 小时的学生有多少名？

解：(1) $a =$ ______， $b =$ ______

(2) （草图示意）

(3)

21.（8分） 某超市销售一种商品，成本价为 $30$ 元/千克。经市场调查发现：该商品的日销售量 $y$（千克）与销售单价 $x$（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示。当销售单价为 $40$ 元/千克时，日销售量为 $80$ 千克；当销售单价为 $50$ 元/千克时，日销售量为 $60$ 千克。

(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2) 设该商品的日销售利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式，并求出售价为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

解：(1)

(2)

22.（8分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^\circ$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $AF \parallel BC$ 交 $BE$ 的延长线于点 $F$，连接 $CF$。

(1) 求证：四边形 $ADCF$ 是菱形；

(2) 若 $AC = 6$，$AB = 8$，求菱形 $ADCF$ 的面积。

证明与解：(1)

(2)

23.（10分） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$，$B$。将直线 $l_1$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45^\circ$ 得到直线 $l_2$，$l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $C$。

(1) 求点 $A$，$B$ 的坐标及直线 $l_2$ 的函数表达式；

(2) 点 $P$ 是直线 $l_1$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD \perp x$ 轴于点 $D$，交直线 $l_2$ 于点 $E$。设点 $P$ 的横坐标为 $m$。

① 用含 $m$ 的代数式表示线段 $DE$ 的长；

② 当 $\triangle PDE$ 是以 $PE$ 为腰的等腰三角形时，求点 $P$ 的坐标。

解：(1)

(2) ①

②

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. $x \geq 5$    12. $12$    13. $7$    14. $k < 1$    15. $5$    16. $\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$

三、解答题（共52分）

17.（6分）

解：(1) 原式 $= 2\sqrt{3} - 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}$ …………（1分）

$= 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}$ …………（2分）

$= 4\sqrt{3}$ …………（3分）

(2) 原式 $= (\sqrt{5})^2 - 2^2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1]$ …………（1分）

$= 5 - 4 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)$ …………（2分）

$= 1 - (4 - 2\sqrt{3})$

$= 1 - 4 + 2\sqrt{3}$

$= -3 + 2\sqrt{3}$ …………（3分）

18.（6分）

解：(1) $x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x-5)(x+1)=0$ …………（1分）

$x-5=0$ 或 $x+1=0$

$\therefore x_1 = 5, x_2 = -1$ …………（3分）

(2) $2x(x-3) = x - 3$

$2x(x-3) - (x-3) = 0$

$(x-3)(2x-1)=0$ …………（1分）

$x-3=0$ 或 $2x-1=0$

$\therefore x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2}$ …………（3分）

19.（7分）

证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

∴ $AD \parallel BC$，$AD = BC$。 …………（2分）

∵ $BE = DF$，

∴ $AD - DF = BC - BE$，即 $AF = EC$。 …………（4分）

又 ∵ $AF \parallel EC$， …………（5分）

∴ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。 …………（7分）

20.（7分）

解：(1) $a = 8$， $b = 4$。 …………（2分）

(2) （草图：横轴为阅读时间，纵轴为频数，画出三个长方形，高度分别为8，18，4） …………（4分）

(3) $600 \times \frac{18+4}{30} = 600 \times \frac{22}{30} = 440$（名）。 …………（6分）

答：估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生有440名。 …………（7分）

21.（8分）

解：(1) 设 $y = kx + b$，

根据题意得 $\begin{cases} 40k + b = 80 \\ 50k + b = 60 \end{cases}$， …………（1分）

解得 $\begin{cases} k = -2 \\ b = 160 \end{cases}$。 …………（2分）

∴ $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -2x + 160$。 …………（3分）

(2) 根据题意得：

$w = (x-30)y = (x-30)(-2x+160)$ …………（4分）

$= -2x^2 + 220x - 4800$ …………（5分）

$= -2(x^2 - 110x) - 4800$

$= -2(x - 55)^2 + 1250$。 …………（6分）

∵ $-2 < 0$，

∴ 当 $x = 55$ 时，$w$ 有最大值，最大值为 $1250$。 …………（7分）

答：售价为55元/千克时，日销售利润最大，最大利润是1250元。 …………（8分）

22.（8分）

(1) 证明：∵ $AF \parallel BC$，

∴ $\angle AFE = \angle DBE$。

∵ $E$ 是 $AD$ 的中点，∴ $AE = DE$。

在 $\triangle AEF$ 和 $\triangle DEB$ 中，

$\begin{cases} \angle AFE = \angle DBE \\ \angle AEF = \angle DEB \\ AE = DE \end{cases}$

∴ $\triangle AEF \cong \triangle DEB (AAS)$。 …………（1分）

∴ $AF = BD$。

∵ $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，∴ $BD = DC$。

∴ $AF = DC$。 …………（2分）

又 ∵ $AF \parallel DC$，

∴ 四边形 $ADCF$ 是平行四边形。 …………（3分）

∵ $\angle BAC = 90^\circ$，$AD$ 是斜边 $BC$ 的中线，

∴ $AD = \frac{1}{2} BC = DC$。 …………（4分）

∴ 平行四边形 $ADCF$ 是菱形。 …………（5分）

(2) 解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=8$，$AC=6$，

∴ $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$。 …………（6分）

∴ $AD = DC = \frac{1}{2} BC = 5$。

∵ 四边形 $ADCF$ 是菱形，

∴ $S_{\text{菱形}ADCF} = 2S_{\triangle ADC}$。 …………（7分）

∵ $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$，且 $AD$ 是中线，

∴ $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = 12$。

∴ $S_{\text{菱形}ADCF} = 2 \times 12 = 24$。 …………（8分）

23.（10分）

解：(1) 对于 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$，

令 $y=0$，得 $x=-4$，∴ $A(-4, 0)$。

令 $x=0$，得 $y=2$，∴ $B(0, 2)$。 …………（1分）

由旋转可知，$\angle ABC = 45^\circ$。

过点 $C$ 作 $CH \perp AB$ 于 $H$，则 $\triangle BCH$ 为等腰直角三角形。

可求得 $AB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}$。

（方法不唯一）可求得 $C(2, 0)$。 …………（2分）

设 $l_2: y = k'x + 2$，将 $C(2,0)$ 代入得 $0=2k'+2$，解得 $k' = -1$。

∴ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y = -x + 2$。 …………（3分）

(2) ① ∵ 点 $P$ 在 $l_1$ 上，横坐标为 $m$，∴ $P(m, \frac{1}{2}m+2)$。

∵ $PD \perp x$ 轴，交 $l_2$ 于点 $E$，∴ $E(m, -m+2)$。 …………（4分）

∴ $DE = |y_P - y_E| = |(\frac{1}{2}m+2) - (-m+2)| = |\frac{3}{2}m|$。 …………（5分）

∵ 点 $P$ 在 $l_1$ 上，$l_1$ 与 $l_2$ 交于 $B(0,2)$，点 $P$ 与 $B$ 不重合时，$m \neq 0$，且 $P$，$E$ 位置关系决定 $DE$ 为正，

∴ $DE = \frac{3}{2}|m|$。 …………（6分）

② 由题意，$\triangle PDE$ 是以 $PE$ 为腰的等腰三角形。

情况一：当 $PE = PD$ 时，则点 $E$ 在点 $P$ 上方（因为 $PD$ 是垂线段长，$PE$ 是斜线段，通常不相等，此情况需具体分析）。实际上，$PD = |y_P| = |\frac{1}{2}m+2|$，$PE = |y_P - y_E| = \frac{3}{2}|m|$。

令 $\frac{3}{2}|m| = |\frac{1}{2}m+2|$。

当 $m > 0$ 时，$\frac{3}{2}m = \frac{1}{2}m + 2$，解得 $m=2$，此时 $P(2, 3)$。 …………（7分）

当 $m < 0$ 时，$-\frac{3}{2}m = -\frac{1}{2}m - 2$，解得 $m=-2$，此时 $P(-2, 1)$。 …………（8分）

情况二：当 $PE = DE$ 时，即 $\frac{3}{2}|m| = \sqrt{(m-m)^2 + [(\frac{1}{2}m+2)-(-m+2)]^2} = \frac{3}{2}|m|$，此式恒成立，但需确保 $P$，$E$，$D$ 构成三角形，即 $P$ 与 $E$ 不重合，$m \neq 0$。此时 $\triangle PDE$ 退化为线段，或 $P$，$E$ 重合时（$m=0$）不构成三角形，故此情况不单独产生新的 $m$ 值。 …………（9分）

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(2, 3)$ 或 $(-2, 1)$。 …………（10分）