东莞市高一数学下期期末试卷
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合 A = { x ∣ − 2 < x < 3 } A = \{x | -2 < x < 3\} A = { x ∣ − 2 < x < 3 } ， B = { x ∣ x ≥ 0 } B = \{x | x \ge 0\} B = { x ∣ x ≥ 0 } ，则 A ∩ B = A \cap B = A ∩ B = （______）
A. { x ∣ 0 ≤ x < 3 } \{x | 0 \le x < 3\} { x ∣0 ≤ x < 3 } B. { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } \{x | -2 < x \le 3\} { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } C. { x ∣ x > − 2 } \{x | x > -2\} { x ∣ x > − 2 } D. { x ∣ x ≥ 0 } \{x | x \ge 0\} { x ∣ x ≥ 0 }
2. 若复数 z = 2 − i 1 + i z = \frac{2-i}{1+i} z = 1 + i 2 − i ，则 z z z 的共轭复数 z ‾ = \overline{z} = z = （______）
A. 1 2 − 3 2 i \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i 2 1 − 2 3 i B. 1 2 + 3 2 i \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i 2 1 + 2 3 i C. − 1 2 + 3 2 i -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i − 2 1 + 2 3 i D. − 1 2 − 3 2 i -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i − 2 1 − 2 3 i
3. 已知向量 a ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec{a} = (1, 2) a = ( 1 , 2 ) ， b ⃗ = ( x , − 1 ) \vec{b} = (x, -1) b = ( x , − 1 ) ，且 a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{a} \perp \vec{b} a ⊥ b ，则实数 x = x = x = （______）
A. 2 B. -2 C. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 D. − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1
4. 函数 f ( x ) = ln ( x + 1 ) + 4 − x f(x) = \ln(x+1) + \sqrt{4-x} f ( x ) = ln ( x + 1 ) + 4 − x 的定义域是（______）
A. ( − 1 , 4 ] (-1, 4] ( − 1 , 4 ] B. [ − 1 , 4 ] [-1, 4] [ − 1 , 4 ] C. ( − 1 , 4 ) (-1, 4) ( − 1 , 4 ) D. [ − 1 , 4 ) [-1, 4) [ − 1 , 4 )
5. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，角 A , B , C A, B, C A , B , C 所对的边分别为 a , b , c a, b, c a , b , c ，若 a = 2 a=2 a = 2 ， b = 3 b=\sqrt{3} b = 3 ， A = π 3 A=\frac{\pi}{3} A = 3 π ，则角 B = B = B = （______）
A. π 6 \frac{\pi}{6} 6 π B. π 3 \frac{\pi}{3} 3 π C. π 6 \frac{\pi}{6} 6 π 或 5 π 6 \frac{5\pi}{6} 6 5 π D. π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 或 2 π 3 \frac{2\pi}{3} 3 2 π
6. 已知 α \alpha α 是第二象限角，且 sin α = 3 5 \sin \alpha = \frac{3}{5} sin α = 5 3 ，则 tan α = \tan \alpha = tan α = （______）
A. − 3 4 -\frac{3}{4} − 4 3 B. 3 4 \frac{3}{4} 4 3 C. − 4 3 -\frac{4}{3} − 3 4 D. 4 3 \frac{4}{3} 3 4
7. 已知圆柱的底面半径为 2，母线长为 4，则该圆柱的侧面积为（______）
A. 8 π 8\pi 8 π B. 16 π 16\pi 16 π C. 24 π 24\pi 24 π D. 32 π 32\pi 32 π
8. 已知函数 f ( x ) = 2 x − x 2 f(x) = 2^x - x^2 f ( x ) = 2 x − x 2 ，则下列区间中， f ( x ) f(x) f ( x ) 一定存在零点的是（______）
A. ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 ) B. ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) C. ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) D. ( 2 , 3 ) (2, 3) ( 2 , 3 )
二、填空题（共6题，每题5分，共30分） 9. 已知幂函数 f ( x ) = x α f(x) = x^\alpha f ( x ) = x α 的图象过点 ( 4 , 2 ) (4, 2) ( 4 , 2 ) ，则 f ( 9 ) = f(9) = f ( 9 ) = ______。
10. 计算：lg 5 + lg 20 − ( 1 2 ) − 1 = \lg 5 + \lg 20 - (\frac{1}{2})^{-1} = lg 5 + lg 20 − ( 2 1 ) − 1 = ______。
11. 已知 sin ( π + θ ) = 1 3 \sin(\pi + \theta) = \frac{1}{3} sin ( π + θ ) = 3 1 ，则 cos ( π 2 − θ ) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = cos ( 2 π − θ ) = ______。
12. 已知向量 a ⃗ \vec{a} a ， b ⃗ \vec{b} b 满足 ∣ a ⃗ ∣ = 1 |\vec{a}|=1 ∣ a ∣ = 1 ， ∣ b ⃗ ∣ = 2 |\vec{b}|=2 ∣ b ∣ = 2 ， a ⃗ \vec{a} a 与 b ⃗ \vec{b} b 的夹角为 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ ，则 ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ = |\vec{a} + \vec{b}| = ∣ a + b ∣ = ______。
13. 不等式 x 2 − 5 x + 6 < 0 x^2 - 5x + 6 < 0 x 2 − 5 x + 6 < 0 的解集为 ______。
14. 将半径为 3，圆心角为 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ 的扇形卷成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ______。
三、解答题（共6题，共80分） 15.（12分）已知全集 U = R U = \mathbb{R} U = R ，集合 A = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≤ 0 } A = \{x | x^2 - 4x + 3 \le 0\} A = { x ∣ x 2 − 4 x + 3 ≤ 0 } ， B = { x ∣ x − 2 x + 1 ≥ 0 } B = \{x | \frac{x-2}{x+1} \ge 0\} B = { x ∣ x + 1 x − 2 ≥ 0 } 。
（1）求 A ∪ B A \cup B A ∪ B ；
答：________________________________________
（2）求 ∁ U ( A ∩ B ) \complement_U (A \cap B) ∁ U ( A ∩ B ) 。
答：________________________________________
16.（12分）已知函数 f ( x ) = 2 sin ( ω x + φ ) ( ω > 0 , ∣ φ ∣ < π 2 ) f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) f ( x ) = 2 sin ( ω x + φ ) ( ω > 0 , ∣ φ ∣ < 2 π ) 的部分图象如图所示（此处省略图象）。已知图象上相邻两个最高点的距离为 π \pi π ，且点 ( π 6 , 2 ) (\frac{\pi}{6}, 2) ( 6 π , 2 ) 在函数图象上。
（1）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 的解析式；
答：________________________________________
（2）求 f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间 [ − π 4 , π 3 ] [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}] [ − 4 π , 3 π ] 上的最大值和最小值。
答：________________________________________
17.（14分）在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，内角 A , B , C A, B, C A , B , C 所对的边分别为 a , b , c a, b, c a , b , c ，且满足 2 b cos C = 2 a − c 2b \cos C = 2a - c 2 b cos C = 2 a − c 。
（1）求角 B B B 的大小；
答：________________________________________
（2）若 b = 2 3 b = 2\sqrt{3} b = 2 3 ，且 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的面积为 3 3 3\sqrt{3} 3 3 ，求 a + c a + c a + c 的值。
答：________________________________________
18.（14分）如图，在四棱锥 P − A B C D P-ABCD P − A B C D 中，底面 A B C D ABCD A B C D 是边长为 2 的正方形， P A ⊥ PA \perp P A ⊥ 底面 A B C D ABCD A B C D ， P A = 2 PA = 2 P A = 2 ， E E E 为 P D PD P D 的中点。
（1）求证： P B ∥ PB \parallel P B ∥ 平面 A C E ACE A C E ；
答：________________________________________
（2）求三棱锥 C − A D E C-ADE C − A D E 的体积。
答：________________________________________
19.（14分）已知函数 f ( x ) = log a ( 4 − a x ) f(x) = \log_a (4 - ax) f ( x ) = log a ( 4 − a x ) （a > 0 a > 0 a > 0 且 a ≠ 1 a \neq 1 a = 1 ）。
（1）求函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 的定义域；
答：________________________________________
（2）若函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间 [ 1 , 2 ] [1, 2] [ 1 , 2 ] 上是减函数，求实数 a a a 的取值范围。
答：________________________________________
20.（14分）已知定义在 R \mathbb{R} R 上的奇函数 f ( x ) f(x) f ( x ) ，当 x > 0 x > 0 x > 0 时， f ( x ) = x 2 − 2 x f(x) = x^2 - 2x f ( x ) = x 2 − 2 x 。
（1）求函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 R \mathbb{R} R 上的解析式；
答：________________________________________
（2）若函数 g ( x ) = f ( x ) − k g(x) = f(x) - k g ( x ) = f ( x ) − k 有三个零点，求实数 k k k 的取值范围。
答：________________________________________