北师大版八年级数学下册第四章因式分解单元测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，请将姓名、学号、班级等信息填写清楚。

2. 请用黑色签字笔在指定区域内作答，保持卷面整洁。

3. 选择题答案请填写在题前括号内，填空题答案直接写在横线上。

4. 简答题需写出必要的解题步骤。

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（______）

A. $(x+2)(x-2)=x^2-4$ B. $x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$ C. $x^2-4=(x+2)(x-2)$ D. $x^2-4=(x-2)^2$

2. 多项式 $6a^3b^2 - 3a^2b^3$ 的公因式是（______）

A. $ab$ B. $3a^2b^2$ C. $3a^3b^3$ D. $6a^2b^2$

3. 把多项式 $4x^2 - 9$ 分解因式，结果正确的是（______）

A. $(4x+3)(4x-3)$ B. $(2x+3)(2x-3)$ C. $(x+3)(x-3)$ D. $4(x+3)(x-3)$

4. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（______）

A. $x^2 + 4x + 4$ B. $x^2 - 2x - 1$ C. $x^2 + x + 1$ D. $x^2 - 6x + 10$

5. 将多项式 $x^2 - 5x + 6$ 分解因式，结果是（______）

A. $(x-2)(x-3)$ B. $(x+2)(x+3)$ C. $(x-1)(x-6)$ D. $(x+1)(x+6)$

6. 若 $x^2 + mx + 16$ 是一个完全平方式，则常数 $m$ 的值为（______）

A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4

7. 把 $a^3 - 4a$ 分解因式，结果正确的是（______）

A. $a(a^2-4)$ B. $a(a-2)^2$ C. $a(a+2)(a-2)$ D. $(a^2+2a)(a-2)$

8. 已知 $a+b=5$，$ab=6$，则 $a^2b + ab^2$ 的值是（______）

A. 11 B. 30 C. 1 D. 20

9. 对于任意整数 $n$，多项式 $(n+5)^2 - n^2$ 一定能被下列哪个数整除？（______）

A. 5 B. 6 C. 10 D. 25

10. 小明在分解因式 $x^2 + □x - 6$ 时，不小心把二次项系数遮住了，看成了 $□x^2 + x - 6$，他分解的结果是 $(2x+3)(x-2)$，则原多项式正确的分解结果是（______）

A. $(x+3)(x-2)$ B. $(x-3)(x+2)$ C. $(x+6)(x-1)$ D. $(x-6)(x+1)$

二、填空题（每题4分，共20分）

1. 因式分解：$2x^2 - 8 =$ ________________________。

2. 因式分解：$x^2y - 2xy + y =$ ________________________。

3. 若 $x-y=3$，$xy=10$，则 $x^2y - xy^2 =$ ______。

4. 多项式 $x^2 + kx + 9$ 可以分解为 $(x+m)^2$ 的形式，则 $k =$ ______。

5. 已知 $a^2 - b^2 = 12$，$a+b=4$，则 $a-b =$ ______。

三、简答题（共50分）

1. （8分）将下列各式分解因式：

（1）$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$

解：

（2）$(x^2+4)^2 - 16x^2$

解：

2. （6分）先分解因式，再求值：$4a(b-a) - b^2$，其中 $a=1.5$，$b=2$。

解：

3. （8分）用简便方法计算：

（1）$2024^2 - 2023^2$

（2）$1.23 \times 45.6 + 45.6 \times 0.77 - 3.8 \times 45.6$

解：

4. （8分）已知 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a+c) = 0$，试判断 $\triangle ABC$ 的形状。

解：

5. （10分）阅读下列材料，解答问题：

分解因式：$x^2 + 5x + 6$。

解：原式 $= x^2 + (2+3)x + 2 \times 3 = (x+2)(x+3)$。

这种方法的关键是将常数项分解成两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数。

请用上述方法分解因式：

（1）$x^2 + 7x + 12$

（2）$x^2 - 3x - 10$

（3）$x^2 - 2xy - 8y^2$

解：

6. （10分）【实践探究】

（1）分解因式：$a^2 - b^2 =$ ______________；$a^3 - b^3 =$ ______________；$a^4 - b^4 =$ ______________。

（2）观察上述结果，请你猜想 $a^n - b^n$（$n$为正整数）分解因式后可能含有的一个因式是什么？并验证你的猜想当 $n=5$ 时是否正确。

（3）根据以上结论，计算：$2^5 - 1$。

解：

参考答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共20分）

1. $2(x+2)(x-2)$

2. $y(x-1)^2$

3. 30

4. 6 或 -6 （只写一个得2分）

5. 3

三、简答题（共50分）

1. （8分）

（1）解：原式 $= 3a(x^2 - 2xy + y^2)$ …………（2分）

$= 3a(x-y)^2$ …………（4分）

（2）解：原式 $= [(x^2+4)+4x][(x^2+4)-4x]$ …………（2分）

$= (x^2+4x+4)(x^2-4x+4)$ …………（3分）

$= (x+2)^2(x-2)^2$ …………（4分）

2. （6分）

解：原式 $= 4ab - 4a^2 - b^2$ …………（1分）

$= -(4a^2 - 4ab + b^2)$ …………（2分）

$= -(2a - b)^2$ …………（4分）

当 $a=1.5$，$b=2$ 时，

原式 $= -(2 \times 1.5 - 2)^2 = -(3-2)^2 = -1$ …………（6分）

3. （8分）

解：（1）原式 $= (2024+2023)(2024-2023)$ …………（2分）

$= 4047 \times 1 = 4047$ …………（4分）

（2）原式 $= 45.6 \times (1.23 + 0.77 - 3.8)$ …………（2分）

$= 45.6 \times (-1.8) = -82.08$ …………（4分）

4. （8分）

解：由 $a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a+c) = 0$，得

$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$ …………（2分）

即 $(a-b)^2 + (b-c)^2 = 0$ …………（4分）

∵ $(a-b)^2 \ge 0$，$(b-c)^2 \ge 0$，

∴ $a-b=0$ 且 $b-c=0$ …………（6分）

∴ $a = b = c$。

∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形。 …………（8分）

5. （10分）

解：（1）$x^2 + 7x + 12 = x^2 + (3+4)x + 3 \times 4 = (x+3)(x+4)$ …………（3分）

（2）$x^2 - 3x - 10 = x^2 + [2+(-5)]x + 2 \times (-5) = (x+2)(x-5)$ …………（3分）

（3）$x^2 - 2xy - 8y^2 = x^2 + [2+(-4)]y \cdot x + 2 \times (-4) y^2 = (x+2y)(x-4y)$ …………（4分）

6. （10分）

解：（1）$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$； …………（1分）

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$； …………（2分）

$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$。 …………（3分）

（2）猜想：$a^n - b^n$ 一定含有因式 $(a-b)$。 …………（5分）

验证：当 $n=5$ 时，$a^5 - b^5 = (a-b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$，含有因式 $(a-b)$，猜想正确。 …………（7分）

（3）$2^5 - 1 = (2-1)(2^4 + 2^3 \times 1 + 2^2 \times 1^2 + 2 \times 1^3 + 1^4)$ …………（8分）

$= 1 \times (16+8+4+2+1)$ …………（9分）

$= 31$ …………（10分）