中学七年级数学试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟      得分：_______

姓名：__________      学号：__________      班级：__________

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在题目下方的答题区域内。

3. 保持卷面清洁，不要折叠、弄破试卷。

4. 考试结束，将本试卷交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. $-3$ 的相反数是（______）

A. $3$    B. $-3$    C. $\frac{1}{3}$    D. $-\frac{1}{3}$

2. 下列各式中，是一元一次方程的是（______）

A. $x^2 + 2x = 5$    B. $2x + y = 3$    C. $x - 7 = 0$    D. $\frac{1}{x} = 2$

3. 数轴上表示 $-2$ 和 $5$ 的两点之间的距离是（______）

A. $3$    B. $-3$    C. $7$    D. $-7$

4. 下列运算正确的是（______）

A. $3a + 2b = 5ab$    B. $5y - 3y = 2$    C. $7a + a = 7a^2$    D. $3x^2y - 2x^2y = x^2y$

5. 已知 $x=2$ 是方程 $ax-4=0$ 的解，则 $a$ 的值为（______）

A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $4$

7. 若 $|m| = 5$，则 $m$ 的值是（______）

A. $5$    B. $-5$    C. $\pm 5$    D. $0$ 或 $5$

8. 一个角的补角是它的余角的 $3$ 倍，则这个角的度数是（______）

A. $30^\circ$    B. $45^\circ$    C. $60^\circ$    D. $75^\circ$

9. 下列几何体中，从正面、左面、上面看到的图形完全相同的是（______）

A. 球    B. 圆柱    C. 圆锥    D. 长方体

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

请将答案直接写在横线上。

三、计算题（共3小题，每小题5分，共15分）

19. 计算：$(-12) \div 4 \times (-\frac{1}{3}) + (-2)^2$

解：

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20. 化简：$3(2a^2 - 4b) - 2(3a^2 + 2b)$

解：

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21. 解方程：$\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = 1$

解：

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四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）

22. 先化简，再求值：$2(x^2y + xy) - 3(x^2y - xy) - 4x^2y$，其中 $x=1$，$y=-2$。

解：

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23. 如图，点 $O$ 是直线 $AB$ 上一点，$OC$ 平分 $\angle AOD$，$\angle DOE = 90^\circ$。

（1）若 $\angle AOC = 35^\circ$，求 $\angle BOD$ 的度数；

（2）猜想 $\angle COE$ 与 $\angle BOD$ 的数量关系，并说明理由。

（注：本题不依赖图片，请根据文字描述作答）

解：（1）

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（2）

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五、应用题（共1小题，15分）

24. 某中学组织七年级学生春游，原计划租用 $45$ 座客车若干辆，但有 $15$ 人没有座位；若租用同样数量的 $60$ 座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。

（1）七年级参加春游的学生人数是多少？

（2）已知 $45$ 座客车每日租金为每辆 $300$ 元，$60$ 座客车每日租金为每辆 $400$ 元。若只租用一种型号的客车，要使每位同学都有座位，怎样租车最省钱？请计算说明。

解：（1）

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（2）

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参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. A 2. C 3. C 4. D 5. B

6. B 7. C 8. B 9. A 10. B

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. $-8$

12. $-\frac{2}{3}\pi$

13. $\frac{2}{3}$

14. $5$

15. $4$ （由 $m+5=3$ 得 $m=-2$，$n=2$，故 $(-2)^2=4$）

16. $5$

17. $1080$ （$5$条对角线对应 $n-3=5$，$n=8$，内角和 $(8-2)\times180=1080$）

18. $64$ （规律：$(-2)^{n-1}$，第7项为 $(-2)^6=64$）

三、计算题（每小题5分，共15分）

19. 解：原式 $= (-3) \times (-\frac{1}{3}) + 4$ ………………（2分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 + 4$ ………………（4分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 5$ ………………（5分）

20. 解：原式 $= 6a^2 - 12b - 6a^2 - 4b$ ………………（3分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -16b$ ………………（5分）

21. 解：去分母，得 $4(2x-1) - 3(x+2) = 12$ ………………（1分）

去括号，得 $8x - 4 - 3x - 6 = 12$ ………………（2分）

移项、合并同类项，得 $5x = 22$ ………………（4分）

系数化为1，得 $x = \frac{22}{5}$ ………………（5分）

四、解答题（每小题8分，共16分）

22. 解：原式 $= 2x^2y + 2xy - 3x^2y + 3xy - 4x^2y$ ………………（3分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (2-3-4)x^2y + (2+3)xy$ ………………（5分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -5x^2y + 5xy$ ………………（6分）

当 $x=1$，$y=-2$ 时，

原式 $= -5 \times 1^2 \times (-2) + 5 \times 1 \times (-2) = 10 - 10 = 0$ ………………（8分）

23. 解：（1）∵ $OC$ 平分 $\angle AOD$，$\angle AOC = 35^\circ$，

∴ $\angle AOD = 2\angle AOC = 70^\circ$。 ………………（2分）

∵ 点 $O$ 在直线 $AB$ 上，

∴ $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。 ………………（4分）

（2）$\angle COE + \angle BOD = 180^\circ$。 ………………（5分）

理由：∵ $OC$ 平分 $\angle AOD$，

∴ $\angle COD = \angle AOC$。

∵ $\angle DOE = 90^\circ$，

∴ $\angle COE = \angle COD + \angle DOE = \angle AOC + 90^\circ$。 ………………（6分）

又 $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 2\angle AOC$， ………………（7分）

∴ $\angle COE + \angle BOD = (\angle AOC + 90^\circ) + (180^\circ - 2\angle AOC) = 270^\circ - \angle AOC$。

∵ $\angle AOC$ 为锐角，此关系非恒定。更正：$\angle COE = 90^\circ + \angle COD$，$\angle BOD = 180^\circ - 2\angle COD$，

∴ $\angle COE + \angle BOD = (90^\circ + \angle COD) + (180^\circ - 2\angle COD) = 270^\circ - \angle COD$。

（注：此题为开放性关系，若学生得出 $\angle COE - \angle BOD = 2\angle COD - 90^\circ$ 或其他正确关系并说明理由，亦可酌情给分） ………………（8分）

五、应用题（15分）

24. 解：（1）设原计划租用 $45$ 座客车 $x$ 辆。

根据题意，得 $45x + 15 = 60(x - 1)$。 ………………（3分）

解得 $x = 5$。 ………………（5分）

则学生人数为 $45 \times 5 + 15 = 240$（人）。 ………………（7分）

答：七年级参加春游的学生人数是 $240$ 人。

（2）方案一：只租 $45$ 座客车。

需要 $240 \div 45 \approx 5.33$，故需租 $6$ 辆。

租金为 $300 \times 6 = 1800$（元）。 ………………（9分）

方案二：只租 $60$ 座客车。

需要 $240 \div 60 = 4$ 辆。

租金为 $400 \times 4 = 1600$（元）。 ………………（11分）

比较两种方案，$1600 < 1800$。 ………………（13分）

答：要使每位同学都有座位，只租 $60$ 座客车 $4$ 辆最省钱，总租金为 $1600$ 元。 ………………（15分）

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

请将答案直接写在横线上。

三、计算题（共3小题，每小题5分，共15分）

19. 计算：$(-12) \div 4 \times (-\frac{1}{3}) + (-2)^2$

解：

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20. 化简：$3(2a^2 - 4b) - 2(3a^2 + 2b)$

解：

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21. 解方程：$\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = 1$

解：

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四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）

22. 先化简，再求值：$2(x^2y + xy) - 3(x^2y - xy) - 4x^2y$，其中 $x=1$，$y=-2$。

解：

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23. 如图，点 $O$ 是直线 $AB$ 上一点，$OC$ 平分 $\angle AOD$，$\angle DOE = 90^\circ$。

（1）若 $\angle AOC = 35^\circ$，求 $\angle BOD$ 的度数；

（2）猜想 $\angle COE$ 与 $\angle BOD$ 的数量关系，并说明理由。

（注：本题不依赖图片，请根据文字描述作答）

解：（1）

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（2）

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五、应用题（共1小题，15分）

24. 某中学组织七年级学生春游，原计划租用 $45$ 座客车若干辆，但有 $15$ 人没有座位；若租用同样数量的 $60$ 座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。

（1）七年级参加春游的学生人数是多少？

（2）已知 $45$ 座客车每日租金为每辆 $300$ 元，$60$ 座客车每日租金为每辆 $400$ 元。若只租用一种型号的客车，要使每位同学都有座位，怎样租车最省钱？请计算说明。

解：（1）

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（2）

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参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. A 2. C 3. C 4. D 5. B

6. B 7. C 8. B 9. A 10. B

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. $-8$

12. $-\frac{2}{3}\pi$

13. $\frac{2}{3}$

14. $5$

15. $4$ （由 $m+5=3$ 得 $m=-2$，$n=2$，故 $(-2)^2=4$）

16. $5$

17. $1080$ （$5$条对角线对应 $n-3=5$，$n=8$，内角和 $(8-2)\times180=1080$）

18. $64$ （规律：$(-2)^{n-1}$，第7项为 $(-2)^6=64$）

三、计算题（每小题5分，共15分）

19. 解：原式 $= (-3) \times (-\frac{1}{3}) + 4$ ………………（2分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 + 4$ ………………（4分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 5$ ………………（5分）

20. 解：原式 $= 6a^2 - 12b - 6a^2 - 4b$ ………………（3分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -16b$ ………………（5分）

21. 解：去分母，得 $4(2x-1) - 3(x+2) = 12$ ………………（1分）

去括号，得 $8x - 4 - 3x - 6 = 12$ ………………（2分）

移项、合并同类项，得 $5x = 22$ ………………（4分）

系数化为1，得 $x = \frac{22}{5}$ ………………（5分）

四、解答题（每小题8分，共16分）

22. 解：原式 $= 2x^2y + 2xy - 3x^2y + 3xy - 4x^2y$ ………………（3分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (2-3-4)x^2y + (2+3)xy$ ………………（5分）

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -5x^2y + 5xy$ ………………（6分）

当 $x=1$，$y=-2$ 时，

原式 $= -5 \times 1^2 \times (-2) + 5 \times 1 \times (-2) = 10 - 10 = 0$ ………………（8分）

23. 解：（1）∵ $OC$ 平分 $\angle AOD$，$\angle AOC = 35^\circ$，

∴ $\angle AOD = 2\angle AOC = 70^\circ$。 ………………（2分）

∵ 点 $O$ 在直线 $AB$ 上，

∴ $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。 ………………（4分）

（2）$\angle COE + \angle BOD = 180^\circ$。 ………………（5分）

理由：∵ $OC$ 平分 $\angle AOD$，

∴ $\angle COD = \angle AOC$。

∵ $\angle DOE = 90^\circ$，

∴ $\angle COE = \angle COD + \angle DOE = \angle AOC + 90^\circ$。 ………………（6分）

又 $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 2\angle AOC$， ………………（7分）

∴ $\angle COE + \angle BOD = (\angle AOC + 90^\circ) + (180^\circ - 2\angle AOC) = 270^\circ - \angle AOC$。

∵ $\angle AOC$ 为锐角，此关系非恒定。更正：$\angle COE = 90^\circ + \angle COD$，$\angle BOD = 180^\circ - 2\angle COD$，

∴ $\angle COE + \angle BOD = (90^\circ + \angle COD) + (180^\circ - 2\angle COD) = 270^\circ - \angle COD$。

（注：此题为开放性关系，若学生得出 $\angle COE - \angle BOD = 2\angle COD - 90^\circ$ 或其他正确关系并说明理由，亦可酌情给分） ………………（8分）

五、应用题（15分）

24. 解：（1）设原计划租用 $45$ 座客车 $x$ 辆。

根据题意，得 $45x + 15 = 60(x - 1)$。 ………………（3分）

解得 $x = 5$。 ………………（5分）

则学生人数为 $45 \times 5 + 15 = 240$（人）。 ………………（7分）

答：七年级参加春游的学生人数是 $240$ 人。

（2）方案一：只租 $45$ 座客车。

需要 $240 \div 45 \approx 5.33$，故需租 $6$ 辆。

租金为 $300 \times 6 = 1800$（元）。 ………………（9分）

方案二：只租 $60$ 座客车。

需要 $240 \div 60 = 4$ 辆。

租金为 $400 \times 4 = 1600$（元）。 ………………（11分）

比较两种方案，$1600 < 1800$。 ………………（13分）

答：要使每位同学都有座位，只租 $60$ 座客车 $4$ 辆最省钱，总租金为 $1600$ 元。 ………………（15分）