云南省初一数学下学期第一单元典型中档题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（每空2分，共20分）

二、选择题（每题3分，共15分）

1. 下列说法正确的是（______）

A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 相等的角是对顶角 C. 对顶角一定相等 D. 不是对顶角的两个角不相等

2. 下列图形中，$\angle 1$与$\angle 2$是内错角的是（______）

A. 两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧且在两条被截线之间的两个角

B. 两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧且在两条被截线之间的两个角

C. 两条直线被第三条直线所截，位于截线同侧且在两条被截线之外的两个角

D. 两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧且在两条被截线之外的两个角

3. 如图，能判定直线$a \parallel b$的条件是（______）

A. $\angle 1 = \angle 2$ B. $\angle 3 = \angle 4$ C. $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$ D. $\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

4. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（______）

A. 第一次右拐$50^\circ$，第二次左拐$130^\circ$ B. 第一次右拐$50^\circ$，第二次右拐$50^\circ$

C. 第一次左拐$50^\circ$，第二次左拐$50^\circ$ D. 第一次左拐$50^\circ$，第二次右拐$130^\circ$

5. 已知：如图，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = 70^\circ$，则$\angle 4$的度数为（______）

A. $70^\circ$ B. $110^\circ$ C. $120^\circ$ D. $140^\circ$

三、计算与说理题（共25分）

1. （6分）一个角的余角比这个角的补角的$\frac{1}{3}$还小$10^\circ$，求这个角的度数。

解：设这个角为$x$度，根据题意列方程：

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解得：$x =$ ______

答：这个角的度数是 ______。

2. （9分）如图，已知$\angle 1 = \angle 2$，$\angle C = \angle D$。求证：$\angle A = \angle F$。

请将以下证明过程补充完整：

证明：∵ $\angle 1 = \angle 2$（已知），

又∵ $\angle 1 = \angle 3$（______），

∴ $\angle 2 = \angle 3$（等量代换）。

∴ BD ∥ ______（______）。

∴ $\angle C = \angle ABD$（______）。

∵ $\angle C = \angle D$（已知），

∴ $\angle ABD = \angle D$（等量代换）。

∴ AC ∥ ______（______）。

∴ $\angle A = \angle F$（______）。

3. （10分）如图，已知$\angle B + \angle BCD = 180^\circ$，$\angle B = \angle D$。求证：$\angle E = \angle DFE$。

要求：写出完整的推理过程，并在每一步后面注明理由。

证明：

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四、解答题（每题10分，共40分）

1. 如图，已知AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，$\angle E = \angle 1$。求证：AD平分$\angle BAC$。

证明：

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2. 如图，已知$\angle ABC = \angle ADC$，BF和DE分别平分$\angle ABC$和$\angle ADC$，且$\angle 1 = \angle 2$。求证：AB ∥ CD。

证明：

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3. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过。如果第一次拐的角$\angle A$是$120^\circ$，第二次拐的角$\angle B$是$150^\circ$，第三次拐的角是$\angle C$，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求$\angle C$的度数。

解：

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答：$\angle C$的度数是 ______。

4. 探究题：已知AB ∥ CD，点P为平面内一点，连接AP，CP。

（1）如图1，若点P在AB与CD之间，试探究$\angle A$，$\angle C$与$\angle APC$之间的数量关系，并说明理由。

（2）如图2，若点P在AB上方，试探究$\angle A$，$\angle C$与$\angle APC$之间的数量关系是否发生变化？请写出结论并证明。

（1）解：关系为：____________________。

理由：

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（2）结论：____________________。

证明：

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