天津人教版八年级上册数学期末考试卷
班级：____________________ 姓名：____________________
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（______）
A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 梯形
2. 计算 ( − 2 a 2 ) 3 (-2a^2)^3 ( − 2 a 2 ) 3 的结果是（______）
A. − 6 a 5 -6a^5 − 6 a 5 B. − 8 a 6 -8a^6 − 8 a 6 C. 8 a 6 8a^6 8 a 6 D. − 8 a 5 -8a^5 − 8 a 5
3. 若分式 x − 2 x + 1 \frac{x-2}{x+1} x + 1 x − 2 的值为0，则 x x x 的值为（______）
A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 0
4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（______）
A. 1, 2, 3 B. 2, 2, 4 C. 3, 4, 5 D. 5, 6, 12
5. 点 P ( 3 , − 2 ) P(3, -2) P ( 3 , − 2 ) 关于 x x x 轴对称的点的坐标是（______）
A. ( 3 , 2 ) (3, 2) ( 3 , 2 ) B. ( − 3 , − 2 ) (-3, -2) ( − 3 , − 2 ) C. ( − 3 , 2 ) (-3, 2) ( − 3 , 2 ) D. ( 2 , − 3 ) (2, -3) ( 2 , − 3 )
6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（______）
A. x 2 − 4 = ( x + 2 ) ( x − 2 ) x^2 - 4 = (x+2)(x-2) x 2 − 4 = ( x + 2 ) ( x − 2 ) B. x ( x − 1 ) = x 2 − x x(x-1) = x^2 - x x ( x − 1 ) = x 2 − x C. x 2 + 2 x + 1 = x ( x + 2 ) + 1 x^2 + 2x + 1 = x(x+2) + 1 x 2 + 2 x + 1 = x ( x + 2 ) + 1 D. ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
7. 如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB = AC A B = A C ，∠ A = 40 ∘ \angle A = 40^\circ ∠ A = 4 0 ∘ ，则 ∠ B \angle B ∠ B 的度数为（______）
A. 40 ∘ 40^\circ 4 0 ∘ B. 70 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ C. 100 ∘ 100^\circ 10 0 ∘ D. 140 ∘ 140^\circ 14 0 ∘
8. 下列计算正确的是（______）
A. a 2 ⋅ a 3 = a 6 a^2 \cdot a^3 = a^6 a 2 ⋅ a 3 = a 6 B. ( a 2 ) 3 = a 5 (a^2)^3 = a^5 ( a 2 ) 3 = a 5 C. a 6 ÷ a 2 = a 3 a^6 \div a^2 = a^3 a 6 ÷ a 2 = a 3 D. a 3 + a 3 = 2 a 3 a^3 + a^3 = 2a^3 a 3 + a 3 = 2 a 3
9. 若一个多边形的内角和是 720 ∘ 720^\circ 72 0 ∘ ，则这个多边形的边数是（______）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 分式方程 1 x − 2 = 3 x \frac{1}{x-2} = \frac{3}{x} x − 2 1 = x 3 的解是（______）
A. x = 1 x=1 x = 1 B. x = 2 x=2 x = 2 C. x = 3 x=3 x = 3 D. x = 4 x=4 x = 4
11. 如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，∠ C = 90 ∘ \angle C = 90^\circ ∠ C = 9 0 ∘ ，A D AD A D 平分 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C 交 B C BC B C 于点 D D D ，若 B C = 10 BC = 10 B C = 10 ，B D = 6 BD = 6 B D = 6 ，则点 D D D 到 A B AB A B 的距离为（______）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
12. 已知 a + b = 5 a+b=5 a + b = 5 ，a b = 3 ab=3 ab = 3 ，则 a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2 的值为（______）
A. 19 B. 25 C. 31 D. 34
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 分解因式：x 2 − 9 = x^2 - 9 = x 2 − 9 = ______
14. 计算：2 a a − b + 2 b b − a = \frac{2a}{a-b} + \frac{2b}{b-a} = a − b 2 a + b − a 2 b = ______
15. 等腰三角形的一个角是 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ ，则它的顶角是 ______ 度
16. 若 x 2 + m x + 9 x^2 + mx + 9 x 2 + m x + 9 是一个完全平方式，则 m = m = m = ______
17. 如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB=AC A B = A C ，D E DE D E 垂直平分 A B AB A B 交 A C AC A C 于点 E E E ，若 △ B C E \triangle BCE △ B C E 的周长为 14，B C = 6 BC=6 B C = 6 ，则 A B = AB= A B = ______
18. 观察下列等式：1 2 − 0 2 = 1 1^2 - 0^2 = 1 1 2 − 0 2 = 1 ，2 2 − 1 2 = 3 2^2 - 1^2 = 3 2 2 − 1 2 = 3 ，3 2 − 2 2 = 5 3^2 - 2^2 = 5 3 2 − 2 2 = 5 ，4 2 − 3 2 = 7 4^2 - 3^2 = 7 4 2 − 3 2 = 7 ，...，则第 n n n 个等式为 ______
三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19.（本小题8分）计算：
(1) ( 2 x + 3 ) ( x − 4 ) (2x+3)(x-4) ( 2 x + 3 ) ( x − 4 )
(2) x 2 − 4 x 2 − 4 x + 4 ÷ x + 2 x − 2 \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \div \frac{x+2}{x-2} x 2 − 4 x + 4 x 2 − 4 ÷ x − 2 x + 2
20.（本小题8分）解分式方程：
2 x = 3 x + 1 \frac{2}{x} = \frac{3}{x+1} x 2 = x + 1 3
21.（本小题8分）如图，点 B , E , C , F B, E, C, F B , E , C , F 在同一直线上，A B = D E AB = DE A B = D E ，A C = D F AC = DF A C = D F ，B E = C F BE = CF B E = C F 。求证：△ A B C ≅ △ D E F \triangle ABC \cong \triangle DEF △ A B C ≅ △ D E F 。
22.（本小题10分）先化简，再求值：
x − 1 x ÷ ( x − 1 x ) \frac{x-1}{x} \div (x - \frac{1}{x}) x x − 1 ÷ ( x − x 1 ) ，其中 x = 2 + 1 x = \sqrt{2} + 1 x = 2 + 1 。
23.（本小题10分）某工厂计划生产一种产品，若每小时生产 10 件，则恰好按时完成任务；若每小时生产 12 件，则提前 1 小时完成任务。求原计划完成任务需要多少小时？
解：设原计划完成任务需要 x x x 小时。
24.（本小题10分）如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB=AC A B = A C ，D D D 是 B C BC B C 的中点，D E ⊥ A B DE \perp AB D E ⊥ A B 于点 E E E ，D F ⊥ A C DF \perp AC D F ⊥ A C 于点 F F F 。
(1) 求证：D E = D F DE = DF D E = D F ；
(2) 若 ∠ A = 60 ∘ \angle A = 60^\circ ∠ A = 6 0 ∘ ，A B = 4 AB = 4 A B = 4 ，求 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的面积。
25.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，A ( 0 , 2 ) A(0, 2) A ( 0 , 2 ) ，B ( 4 , 0 ) B(4, 0) B ( 4 , 0 ) ，C C C 为第一象限内一点，且 △ A B C \triangle ABC △ A B C 是等腰直角三角形，∠ A B C = 90 ∘ \angle ABC = 90^\circ ∠ A B C = 9 0 ∘ 。
(1) 求点 C C C 的坐标；
(2) 在 y y y 轴上是否存在点 P P P ，使得 △ P A B \triangle PAB △ P A B 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P P P 的坐标；若不存在，请说明理由。
天津人教版八年级上册数学期末考试卷
参考答案与解析
一、选择题 1. C（等边三角形是轴对称图形）
2. B（( − 2 a 2 ) 3 = ( − 2 ) 3 ⋅ ( a 2 ) 3 = − 8 a 6 (-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8a^6 ( − 2 a 2 ) 3 = ( − 2 ) 3 ⋅ ( a 2 ) 3 = − 8 a 6 ）
3. A（分子为0且分母不为0，即 x − 2 = 0 x-2=0 x − 2 = 0 ，x = 2 x=2 x = 2 ）
4. C（三角形两边之和大于第三边）
5. A（关于 x x x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数）
6. A（因式分解是把多项式化为几个整式的积的形式）
7. B（等腰三角形两底角相等，∠ B = 180 ∘ − 40 ∘ 2 = 70 ∘ \angle B = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ ∠ B = 2 18 0 ∘ − 4 0 ∘ = 7 0 ∘ ）
8. D（a 3 + a 3 = 2 a 3 a^3 + a^3 = 2a^3 a 3 + a 3 = 2 a 3 ）
9. C（多边形内角和公式 ( n − 2 ) × 180 ∘ = 720 ∘ (n-2) \times 180^\circ = 720^\circ ( n − 2 ) × 18 0 ∘ = 72 0 ∘ ，解得 n = 6 n=6 n = 6 ）
10. C（去分母得 x = 3 ( x − 2 ) x = 3(x-2) x = 3 ( x − 2 ) ，解得 x = 3 x=3 x = 3 ，经检验是原方程的解）
11. A（角平分线上的点到角两边的距离相等，C D = B C − B D = 4 CD = BC - BD = 4 C D = B C − B D = 4 ，所以距离为4）
12. A（a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b = 25 − 6 = 19 a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 25 - 6 = 19 a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 ab = 25 − 6 = 19 ）
二、填空题 13. ( x + 3 ) ( x − 3 ) (x+3)(x-3) ( x + 3 ) ( x − 3 )
14. 2（2 a a − b − 2 b a − b = 2 ( a − b ) a − b = 2 \frac{2a}{a-b} - \frac{2b}{a-b} = \frac{2(a-b)}{a-b} = 2 a − b 2 a − a − b 2 b = a − b 2 ( a − b ) = 2 ）
15. 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ 或 20 ∘ 20^\circ 2 0 ∘ （当 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ 是顶角时，顶角为 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ ；当 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ 是底角时，顶角为 20 ∘ 20^\circ 2 0 ∘ ）
16. ± 6 \pm 6 ± 6 （完全平方式 x 2 ± 6 x + 9 = ( x ± 3 ) 2 x^2 \pm 6x + 9 = (x \pm 3)^2 x 2 ± 6 x + 9 = ( x ± 3 ) 2 ）
17. 8（由垂直平分线性质得 A E = B E AE=BE A E = B E ，△ B C E \triangle BCE △ B C E 的周长 = B C + B E + E C = B C + A E + E C = B C + A C = 14 = BC + BE + EC = BC + AE + EC = BC + AC = 14 = B C + B E + E C = B C + A E + E C = B C + A C = 14 ，A C = 8 AC=8 A C = 8 ，A B = A C = 8 AB=AC=8 A B = A C = 8 ）
18. n 2 − ( n − 1 ) 2 = 2 n − 1 n^2 - (n-1)^2 = 2n-1 n 2 − ( n − 1 ) 2 = 2 n − 1
三、解答题 19. (1) ( 2 x + 3 ) ( x − 4 ) = 2 x 2 − 8 x + 3 x − 12 = 2 x 2 − 5 x − 12 (2x+3)(x-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12 ( 2 x + 3 ) ( x − 4 ) = 2 x 2 − 8 x + 3 x − 12 = 2 x 2 − 5 x − 12
(2) x 2 − 4 x 2 − 4 x + 4 ÷ x + 2 x − 2 = ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 ) 2 ⋅ x − 2 x + 2 = 1 \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \div \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{x+2} = 1 x 2 − 4 x + 4 x 2 − 4 ÷ x − 2 x + 2 = ( x − 2 ) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) ⋅ x + 2 x − 2 = 1
20. 解：去分母得 2 ( x + 1 ) = 3 x 2(x+1) = 3x 2 ( x + 1 ) = 3 x ，解得 x = 2 x=2 x = 2 ，经检验 x = 2 x=2 x = 2 是原方程的解。
21. 证明：∵ B E = C F \because BE = CF ∵ B E = C F ，∴ B E + E C = C F + E C \therefore BE + EC = CF + EC ∴ B E + E C = C F + E C ，即 B C = E F BC = EF B C = E F 。在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 和 △ D E F \triangle DEF △ D E F 中，∵ A B = D E \because AB = DE ∵ A B = D E ，A C = D F AC = DF A C = D F ，B C = E F BC = EF B C = E F ，∴ △ A B C ≅ △ D E F \therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF ∴ △ A B C ≅ △ D E F （SSS）。
22. 解：原式 = x − 1 x ÷ x 2 − 1 x = x − 1 x ⋅ x ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 1 x + 1 = \frac{x-1}{x} \div \frac{x^2-1}{x} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x+1} = x x − 1 ÷ x x 2 − 1 = x x − 1 ⋅ ( x + 1 ) ( x − 1 ) x = x + 1 1 。当 x = 2 + 1 x = \sqrt{2} + 1 x = 2 + 1 时，原式 = 1 2 + 1 + 1 = 1 2 + 2 = 2 − 2 2 = \frac{1}{\sqrt{2}+1+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 2 + 1 + 1 1 = 2 + 2 1 = 2 2 − 2 。
23. 解：设原计划完成任务需要 x x x 小时。根据题意得 10 x = 12 ( x − 1 ) 10x = 12(x-1) 10 x = 12 ( x − 1 ) ，解得 x = 6 x=6 x = 6 。答：原计划完成任务需要 6 小时。
24. (1) 证明：连接 A D AD A D 。∵ A B = A C \because AB=AC ∵ A B = A C ，D D D 是 B C BC B C 的中点，∴ A D \therefore AD ∴ A D 平分 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C 。又 ∵ D E ⊥ A B \because DE \perp AB ∵ D E ⊥ A B ，D F ⊥ A C DF \perp AC D F ⊥ A C ，∴ D E = D F \therefore DE = DF ∴ D E = D F 。
(2) 解：∵ A B = A C \because AB=AC ∵ A B = A C ，∠ A = 60 ∘ \angle A=60^\circ ∠ A = 6 0 ∘ ，∴ △ A B C \therefore \triangle ABC ∴ △ A B C 是等边三角形，A B = B C = 4 AB=BC=4 A B = B C = 4 。过点 A A A 作 A H ⊥ B C AH \perp BC A H ⊥ B C 于点 H H H ，则 B H = 2 BH=2 B H = 2 ，A H = 4 2 − 2 2 = 2 3 AH = \sqrt{4^2-2^2} = 2\sqrt{3} A H = 4 2 − 2 2 = 2 3 。∴ S △ A B C = 1 2 × 4 × 2 3 = 4 3 \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} ∴ S △ A B C = 2 1 × 4 × 2 3 = 4 3 。
25. (1) 解：过点 C C C 作 C D ⊥ x CD \perp x C D ⊥ x 轴于点 D D D 。∵ △ A B C \because \triangle ABC ∵ △ A B C 是等腰直角三角形，∠ A B C = 90 ∘ \angle ABC=90^\circ ∠ A B C = 9 0 ∘ ，∴ A B = B C \therefore AB=BC ∴ A B = B C ，∠ A B O + ∠ C B D = 90 ∘ \angle ABO + \angle CBD = 90^\circ ∠ A B O + ∠ C B D = 9 0 ∘ 。又 ∵ ∠ A B O + ∠ B A O = 90 ∘ \because \angle ABO + \angle BAO = 90^\circ ∵ ∠ A B O + ∠ B A O = 9 0 ∘ ，∴ ∠ B A O = ∠ C B D \therefore \angle BAO = \angle CBD ∴ ∠ B A O = ∠ C B D 。在 △ A O B \triangle AOB △ A O B 和 △ B D C \triangle BDC △ B D C 中，∵ ∠ A O B = ∠ B D C = 90 ∘ \because \angle AOB = \angle BDC = 90^\circ ∵ ∠ A O B = ∠ B D C = 9 0 ∘ ，∠ B A O = ∠ C B D \angle BAO = \angle CBD ∠ B A O = ∠ C B D ，A B = B C AB=BC A B = B C ，∴ △ A O B ≅ △ B D C \therefore \triangle AOB \cong \triangle BDC ∴ △ A O B ≅ △ B D C （AAS）。∴ B D = A O = 2 \therefore BD = AO = 2 ∴ B D = A O = 2 ，C D = O B = 4 CD = OB = 4 C D = O B = 4 。∴ O D = O B + B D = 6 \therefore OD = OB + BD = 6 ∴ O D = O B + B D = 6 。∴ C ( 6 , 4 ) \therefore C(6, 4) ∴ C ( 6 , 4 ) 。
(2) 解：存在。设 P ( 0 , y ) P(0, y) P ( 0 , y ) 。∵ A ( 0 , 2 ) \because A(0,2) ∵ A ( 0 , 2 ) ，B ( 4 , 0 ) B(4,0) B ( 4 , 0 ) ，∴ A B = 4 2 + 2 2 = 2 5 \therefore AB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5} ∴ A B = 4 2 + 2 2 = 2 5 。① 当 P A = P B PA=PB P A = P B 时，∣ y − 2 ∣ = 4 2 + y 2 |y-2| = \sqrt{4^2+y^2} ∣ y − 2∣ = 4 2 + y 2 ，解得 y = − 3 y=-3 y = − 3 ，∴ P 1 ( 0 , − 3 ) \therefore P_1(0, -3) ∴ P 1 ( 0 , − 3 ) ；② 当 P A = A B PA=AB P A = A B 时，∣ y − 2 ∣ = 2 5 |y-2| = 2\sqrt{5} ∣ y − 2∣ = 2 5 ，解得 y = 2 ± 2 5 y=2\pm 2\sqrt{5} y = 2 ± 2 5 ，∴ P 2 ( 0 , 2 + 2 5 ) \therefore P_2(0, 2+2\sqrt{5}) ∴ P 2 ( 0 , 2 + 2 5 ) ，P 3 ( 0 , 2 − 2 5 ) P_3(0, 2-2\sqrt{5}) P 3 ( 0 , 2 − 2 5 ) ；③ 当 P B = A B PB=AB P B = A B 时，4 2 + y 2 = 2 5 \sqrt{4^2+y^2} = 2\sqrt{5} 4 2 + y 2 = 2 5 ，解得 y = ± 2 y=\pm 2 y = ± 2 ，∴ P 4 ( 0 , 2 ) \therefore P_4(0, 2) ∴ P 4 ( 0 , 2 ) （与 A A A 重合，舍去），P 5 ( 0 , − 2 ) P_5(0, -2) P 5 ( 0 , − 2 ) 。综上所述，符合条件的点 P P P 的坐标为 ( 0 , − 3 ) (0, -3) ( 0 , − 3 ) ，( 0 , 2 + 2 5 ) (0, 2+2\sqrt{5}) ( 0 , 2 + 2 5 ) ，( 0 , 2 − 2 5 ) (0, 2-2\sqrt{5}) ( 0 , 2 − 2 5 ) ，( 0 , − 2 ) (0, -2) ( 0 , − 2 ) 。