初中七年级下册北师大版数学测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号和班级填写在指定位置。

2. 请使用黑色签字笔作答，作图题可先用铅笔，确认无误后再用签字笔描黑。

3. 保持卷面整洁，答案必须写在题目下方的答题区域内。

4. 考试结束时，将试卷和草稿纸一并上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 计算 $a^2 \cdot a^3$ 的结果是（______）

A. $a^5$ B. $a^6$ C. $2a^5$ D. $2a^6$

2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（______）

A. $(x+2)(x+2)$ B. $(x+2)(x-2)$ C. $(-x+2)(x-2)$ D. $(x-2)(2-x)$

3. 如图（示意），直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE \perp AB$，若 $\angle 1 = 35^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数是（______）

A. $35^\circ$ B. $45^\circ$ C. $55^\circ$ D. $65^\circ$

4. 在关系式 $y = 3x + 5$ 中，下列说法错误的是（______）

A. $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 B. $x$ 的数值可以任意选择

C. $y$ 是变量，它的值与 $x$ 无关 D. 用关系式表示的变量关系是明确的

5. 一个三角形的两边长分别为 $3$ 和 $7$，则此三角形第三边的长可能是（______）

A. $3$  B. $4$  C. $8$  D. $11$

6. 下列图形中，不是轴对称图形的是（______）

A. 线段 B. 角 C. 直角三角形（非等腰） D. 圆

7. 若 $(x-3)(x+5) = x^2 + mx + n$，则 $m$，$n$ 的值分别为（______）

A. $m=2, n=15$  B. $m=2, n=-15$  C. $m=-2, n=15$  D. $m=-2, n=-15$

8. 如图（示意），$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 中点，下列结论中不一定正确的是（______）

A. $\angle B = \angle C$  B. $AD \perp BC$  C. $AD$ 平分 $\angle BAC$  D. $AB = 2BD$

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接填写在横线上。

三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

15. 计算：$(2x^2y)^3 \div (4x^4y^2)$

解：

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16. 运用乘法公式计算：$103 \times 97$

解：

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17. 先化简，再求值：$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$，其中 $x = -\frac{1}{2}$。

解：

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18. 计算：$(2a-b)(a+2b) - 2a(a-b)$

解：

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四、解答题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）

19. 完成下面的证明过程。

已知：如图，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle C = \angle D$。

求证：$\angle A = \angle F$。

证明：∵ $\angle 1 = \angle 2$（已知），

又 ∵ $\angle 1 = \angle 3$（______），

∴ $\angle 2 = \angle 3$（等量代换）。

∴ BD // ______（同位角相等，两直线平行）。

∴ $\angle C = \angle ABD$（______）。

∵ $\angle C = \angle D$（已知），

∴ $\angle ABD = \angle D$（等量代换）。

∴ AC // DF（______）。

∴ $\angle A = \angle F$（两直线平行，内错角相等）。

20. 已知一个等腰三角形的周长是 $18$ cm，其中一边长为 $4$ cm，求另外两边的长。

解：

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21. 某市出租车收费标准如下：行程不超过 $3$ 千米，收费 $8$ 元；超过 $3$ 千米的部分，每千米收费 $1.8$ 元（不足 $1$ 千米按 $1$ 千米计算）。

（1）写出车费 $y$（元）与行程 $x$（千米）$(x>3)$ 之间的关系式；

（2）小张乘出租车出行，付费 $17$ 元，求他的行程是多少千米？

解：（1）

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（2）

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22. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高。

（1）请用尺规作图法，作出 $\triangle ABC$ 的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若 $\angle B = 40^\circ$，求 $\angle BAD$ 的度数。

解：（1）（作图区，请作出直线 $AD$）

（2）

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五、综合题（本大题共2小题，共10分）

23. （5分）观察下列等式：

$1 \times 3 = 2^2 - 1$，

$2 \times 4 = 3^2 - 1$，

$3 \times 5 = 4^2 - 1$，

...

（1）请你按照以上规律写出第 $4$ 个等式：______；

（2）用含有正整数 $n$ 的等式表示上述规律：______；

（3）请利用上述规律计算：$99 \times 101$。

24. （5分）在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$，且 $BD = CD$。

求证：$\angle B = \angle C$。

证明：

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参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

9. $-8x^3y^6$    10. $55$    11. $1.02 \times 10^{-7}$

12. $6$    13. $80$    14. $y = 50 - 0.1x$ （$0 \le x \le 500$）

三、计算题（每小题5分，共20分）

15. 解：原式 $= 8x^6y^3 \div (4x^4y^2)$ …………（2分）

$= (8 \div 4) \cdot x^{6-4} \cdot y^{3-2}$ …………（1分）

$= 2x^2y$ …………（2分）

16. 解：原式 $= (100+3) \times (100-3)$ …………（2分）

$= 100^2 - 3^2$ …………（2分）

$= 10000 - 9 = 9991$ …………（1分）

17. 解：原式 $= x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 1)$ …………（2分）

$= x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1$ …………（1分）

$= 4x + 5$ …………（1分）

当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，原式 $= 4 \times (-\frac{1}{2}) + 5 = -2 + 5 = 3$ …………（1分）

18. 解：原式 $= 2a^2 + 4ab - ab - 2b^2 - 2a^2 + 2ab$ …………（3分）

$= (2a^2 - 2a^2) + (4ab - ab + 2ab) - 2b^2$ …………（1分）

$= 5ab - 2b^2$ …………（1分）

四、解答题（每小题7分，共28分）

19. （每空1分，共7分）对顶角相等； CE； 两直线平行，同位角相等； 内错角相等，两直线平行。

20. 解：分两种情况讨论：

① 若底边长为 $4$ cm，则腰长为 $(18-4) \div 2 = 7$ (cm)。

此时三边为 $4$ cm， $7$ cm， $7$ cm，能构成三角形。 …………（3分）

② 若腰长为 $4$ cm，则底边长为 $18 - 4 \times 2 = 10$ (cm)。

此时三边为 $4$ cm， $4$ cm， $10$ cm，∵ $4+4 < 10$，∴ 不能构成三角形。 …………（3分）

综上所述，另外两边的长均为 $7$ cm。 …………（1分）

21. 解：（1）$y = 8 + 1.8(x-3)$，即 $y = 1.8x + 2.6$ $(x>3，且x为整数)$ …………（3分）

（2）当 $y=17$ 时， $1.8x + 2.6 = 17$， …………（1分）

解得 $x = 8$。 …………（2分）

答：他的行程是 $8$ 千米。 …………（1分）

22. 解：（1）如图所示，直线 $AD$ 即为所求。 …………（3分，正确作出垂直平分线或高线AD）

（2）∵ $AB=AC$，$AD \perp BC$，

∴ $AD$ 平分 $\angle BAC$， $\angle ADB = 90^\circ$。 …………（1分）

∵ $\angle B = 40^\circ$，

∴ 在 Rt$\triangle ABD$ 中，$\angle BAD = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$。 …………（3分）

五、综合题（共10分）

23. 解：（1）$4 \times 6 = 5^2 - 1$ …………（1分）

（2）$n(n+2) = (n+1)^2 - 1$ …………（2分）

（3）$99 \times 101 = 100^2 - 1 = 10000 - 1 = 9999$ …………（2分）

24. 证明：∵ $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，

∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 …………（2分）

在 Rt$\triangle BDE$ 和 Rt$\triangle CDF$ 中，

$\begin{cases} BD = CD \\ DE = DF \end{cases}$

∴ Rt$\triangle BDE$ $\cong$ Rt$\triangle CDF$（HL）。 …………（2分）

∴ $\angle B = \angle C$（全等三角形的对应角相等）。 …………（1分）