【周考】襄阳五中高一上2026年1月28日周考

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求）

1. 已知全集$U = \mathbb{R}$，集合$A = \{x \mid x < 3\}$，$B = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$，则$A \cap \complement_U B =$（  ）

A. $(2, 3)$

B. $(-\infty, -2) \cup (2, 3)$

C. $[2, 3)$

D. $(-\infty, -2] \cup [2, 3)$

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间$(0, +\infty)$上单调递增的是（  ）

A. $y = \ln|x|$

B. $y = x^{-2}$

C. $y = 2^x$

D. $y = x^2 + x$

3. 命题“$|x| > 2$”的一个充分不必要条件是（  ）

A. $-2 < x < 2$

B. $-4 < x \le -2$

C. $x > -2$

D. $x > 2$

4. 已知$M = \sin 100^\circ - \cos 100^\circ$，$N = \sqrt{2}(\cos 44^\circ \cos 78^\circ + \sin 44^\circ \sin 78^\circ)$，$P = \cos 20^\circ + \sqrt{3} \sin 20^\circ$，$Q = \frac{1}{2}(1 + \tan 22^\circ)(1 + \tan 23^\circ)$，那么$M, N, P, Q$之间的大小顺序是（  ）

A. $M < N < P < Q$

B. $P < Q < M < N$

C. $N < M < Q < P$

D. $Q < N < P < M$

5. 已知$\sin x \cos y = \frac{1}{2}$，则$\sin y \cos x$的取值范围是（  ）

A. $\left[0, \frac{1}{2}\right]$

B. $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$

C. $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

D. $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$

6. 已知$\alpha, \beta \in (0, \pi)$，且$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{\sqrt{2}}{10}$，则$\alpha - \beta =$（  ）

A. $\frac{\pi}{4}$

B. $\frac{3\pi}{4}$

C. $-\frac{\pi}{4}$

D. $-\frac{3\pi}{4}$

7. 设函数$f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$，$g(x) = 1 + 2\sin \pi x$在$[-2, 4]$上的图象的所有交点为$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$，则$\sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i =$（ ）

A. $16$

B. $8$

C. $4$

D. $2$

8. 对于函数$y = f(x)$，若存在$x_0$，使$f(x_0) = -f(-x_0)$，则称点$(x_0, f(x_0))$与点$(-x_0, f(-x_0))$是函数$f(x)$的一对“隐对称点”。若函数$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x, & x > 0 \\ mx + 2, & x \le 0 \end{cases}$的图象存在“隐对称点”，则实数$m$的取值范围是（ ）

A. $(0, 4 - 2\sqrt{2}]$

B. $(0, 4 + 2\sqrt{2}]$

C. $[4 - 2\sqrt{2}, +\infty)$

D. $[4 + 2\sqrt{2}, +\infty)$

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分）

9. 下列各式中正确的是（ ）

A. $10^{-2\lg 3} = \frac{1}{6}$

B. $\log_{16} 8 = \frac{1}{2}$

C. $\log_3 4 \cdot \log_4 9 = 2$

D. $\frac{\log_8 27}{\log_2 3} = 1$

10. 函数$f(x) = 2\sin\left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right)(|\omega| \le 1)$的图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）

A. $\omega = 1$

B. 函数$f(x)$的图象关于点$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$对称

C. 若方程$f(2x) = m$在$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$上有2个不相等的实数根，则$m$的取值范围是$[\sqrt{3}, 2]$

D. 将$y = f(x)$向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到函数$g(x) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

11. 设函数$f(x) = \begin{cases} \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|, & x > 0 \\ x^2 + 2x + 1, & x \le 0 \end{cases}$，则下列判断正确的是（ ）

A. 方程$f(x) = 1$的实数根为$-2, 0, \frac{1}{2}, 2$

B. 若方程$f(x) = k$有3个互不相等的实数根，则$k$的取值范围为$(1, +\infty)$

C. 若方程$f(x) = k$有4个互不相等的实数根$x_1, x_2, x_3, x_4$（$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$），则$\frac{8}{(x_1 + x_2)x_3} + 2x_3^2 \cdot x_4$的取值范围为$[-7, -2)$

D. 若方程$f(x) = k$有3个互不相等的实数根$x_1, x_2, x_3$（$x_1 < x_2 < x_3$），则$x_1 x_2 x_3$的取值范围为$(-\infty, -1)$

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知角$\alpha(0^\circ < \alpha < 360^\circ)$终边上一点$A$的坐标为$(\sin 310^\circ, \cos 310^\circ)$，则$\alpha =$______。

13. 若$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x^2 + 4x + 5)$在区间$(3m - 2, m + 2)$内单调递增，则实数$m$的取值范围为______。

14. 函数$f(x) = 2\cos x \sin(x + \varphi) + m$（$|\varphi| < \frac{\pi}{2}$）的图象关于直线$x = \frac{\pi}{3}$对称，在区间$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$上任取三个实数$a, b, c$，总能以$f(a), f(b), f(c)$的长边构成三角形，则实数$m$的取值范围是______。

四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分13分）

已知集合$A = \left\{x \mid \frac{x + 1}{x - 3} < 0\right\}$，非空集合$B = \{x \mid a < x < 3a - 1\}$。

(1) 若$a = 2$，求$A \cap B$和$A \cup B$；

(2) 若命题“$\exists x \in B, x \notin A$”是假命题，求实数$a$的取值范围。

16. （本小题满分13分）

某电视台旗下的电商平台“家乡好物商城”主要销售本地农特产品，通过对过去一个月（30天）的“广西小砂糖橘”的销售情况调查发现：每千克的销售价格$P(x)$（元/千克）关于第$x$天（$1 \le x \le 30, x \in \mathbb{N}^*$）的函数关系近似满足$P(x) = 10 + \frac{2}{x}$。日销售量$Q(x)$（千克）关于第$x$天的部分数据如下表所示：

| $x$ | 9 | 14 | 18 | 22 | 29 |

|-----|---|----|----|----|----|

| $Q(x)$ | 54 | 59 | 63 | 59 | 52 |

(1) 给出以下四种函数模型：①$Q(x) = ax + b$；②$Q(x) = a|x - m| + b$；③$Q(x) = a^x + b$；④$Q(x) = b\log_a x$。请根据上表中的数据，选择最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量$Q(x)$关于第$x$天的变化关系，并求出该函数的解析式；

(2) 设该商品的日销售收入为函数$y = f(x)$（元），求函数$f(x)$的最小值。

17. （本小题满分15分）

已知函数$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + 2\cos^2 x - 1$。

(1) 求$f(x)$的单调递减区间；

(2) 若关于$x$的方程$f(x) = a$在$\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$上有两个不同的实根$x_1, x_2$，且$x_1 < x_2$，求$2x_1 + x_2$的取值范围。

18. （本小题满分17分）

已知函数$f(x) = 3^{-x}$，函数$g(x)$的图象与$f(x)$的图象关于$y = x$对称。

(1) 若$g(mx^2 + 2x + m)$的值域为$\mathbb{R}$，求实数$m$的取值范围；

(2) 若函数$y = |f(x) - 3| - k$在$x \in [-2, 1]$上有且仅有1个零点，求实数$k$的取值范围；

(3) 是否存在实数$m$，使得函数$y = 4 - m - \frac{\log_3 f(x^2 - 4)}{x} (x > 0)$在$[a, b]$上的值域为$[2a, 2b]$？若存在，求出实数$m$的取值范围；若不存在，请说明理由。

19. （本小题满分19分）

已知函数$f(x), g(x), h(x)$的定义域均为$\mathbb{R}$，给出下面两个定义：

① 若存在唯一的$x \in \mathbb{R}$，使得$f(g(x)) = h(f(x))$，则称$g(x)$与$h(x)$关于$f(x)$唯一交换；

② 若对任意的$x \in \mathbb{R}$，均有$f(g(x)) = h(f(x))$，则称$g(x)$与$h(x)$关于$f(x)$任意交换。

(1) 请判断函数$g(x) = x + 1$与$h(x) = x - 1$关于$f(x) = x^2$是唯一交换还是任意交换，并说明理由；

(2) 设$f(x) = a(x^2 + 2) (a \ne 0)$，$g(x) = x^2 + bx - 1$，若存在函数$h(x)$，使得$g(x)$与$h(x)$关于$f(x)$任意交换，求$b$的值；

(3) 在(2)的条件下，若$g(x)$与$f(x)$关于$w(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$唯一交换，求$a$的值。