平面向量单元测试卷

（满分：150分 考试时间：120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, -1)$，$\vec{b} = (-3, 4)$，则 $2\vec{a} - \vec{b}$ 等于（      ）

A. $(1, -6)$    B. $(7, -6)$    C. $(1, 2)$    D. $(7, 2)$

2. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, 4)$，且 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则实数 $x$ 的值为（      ）

A. 2    B. -2    C. 8    D. -8

3. 已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（      ）

A. 6    B. $6\sqrt{3}$    C. 12    D. $12\sqrt{3}$

4. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 边的中点，则 $\overrightarrow{AD}$ 等于（      ）

A. $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$    B. $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})$    C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$    D. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

5. 已知点 $A(1, 2)$，$B(4, 5)$，则与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同向的单位向量是（      ）

A. $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$    B. $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$    C. $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$    D. $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

6. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, -1)$，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（      ）

A. $(\frac{4}{5}, -\frac{2}{5})$    B. $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$    C. $(0, 0)$    D. $(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

7. 若向量 $\vec{a} = (k, 3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则实数 $k$ 的值为（      ）

A. 12    B. -12    C. $\frac{3}{4}$    D. $-\frac{3}{4}$

8. 已知 $\vec{a} = (2, 1)$，$\vec{b} = (-1, 3)$，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的值为（      ）

A. 5    B. $\sqrt{5}$    C. $\sqrt{17}$    D. 4

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9. 下列命题中，正确的是（      ）

A. 零向量与任意向量平行

B. 若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$

C. 若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = -\vec{b}$

D. 对任意向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，有 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

10. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, -1)$，则下列结论正确的是（      ）

A. $\vec{a} + \vec{b} = (3, 1)$

B. $\vec{a} - \vec{b} = (-1, 3)$

C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

D. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

11. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 满足 $\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$，则下列表达式正确的是（      ）

A. $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

B. $\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

C. $\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC})$

D. $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知向量 $\vec{a} = (3, -4)$，则与 $\vec{a}$ 方向相反的单位向量是 __________。

13. 已知 $|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 3$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^\circ$，则 $|2\vec{a} - \vec{b}| =$ __________。

14. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$，则 $\frac{BD}{DC} =$ __________。

四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. （12分）已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (-3, 1)$。

（1）求 $2\vec{a} + 3\vec{b}$；

（2）求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$；

（3）求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值。

16. （15分）已知 $|\vec{a}| = 4$，$|\vec{b}| = 3$，$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 20$。

（1）求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

（2）求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的值；

（3）求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值。

17. （15分）在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB} = \vec{c}$，$\overrightarrow{AC} = \vec{b}$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $BD = 2DC$。

（1）用 $\vec{b}$，$\vec{c}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$；

（2）若 $|\vec{b}| = 3$，$|\vec{c}| = 5$，$\vec{b} \cdot \vec{c} = 6$，求 $|\overrightarrow{AD}|$ 的值。

18. （15分）已知向量 $\vec{a} = (\cos\alpha, \sin\alpha)$，$\vec{b} = (\cos\beta, \sin\beta)$，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

（1）求 $\cos(\alpha - \beta)$ 的值；

（2）若 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$，$-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$，且 $\sin\beta = -\frac{5}{13}$，求 $\sin\alpha$ 的值。

19. （20分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1, 0)$，$B(0, 1)$，$C(2, 3)$。

（1）若 $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$，求点 $D$ 的坐标；

（2）若点 $E$ 在直线 $BC$ 上，且 $\overrightarrow{OE} \perp \overrightarrow{BC}$，求点 $E$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + (1-\lambda)\overrightarrow{OB}$，且 $|\overrightarrow{PC}|$ 最小，求实数 $\lambda$ 的值及 $|\overrightarrow{PC}|$ 的最小值。