大一《高等数学》期末考试试卷
完成时间：120 分钟 得分：_______
一、选择题（每题3分，共15分） 1. 当 x → 0 x \to 0 x → 0 时，下列函数中与 x x x 是等价无穷小的是（ ）
A. sin x 2 \sin x^2 sin x 2 B. ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) C. 1 + x − 1 − x \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} 1 + x − 1 − x D. 1 − cos x 1 - \cos x 1 − cos x
2. 函数 f ( x ) = ∣ x − 1 ∣ f(x) = |x-1| f ( x ) = ∣ x − 1∣ 在 x = 1 x=1 x = 1 处（ ）
A. 连续且可导 B. 连续但不可导 C. 不连续但可导 D. 不连续且不可导
3. 曲线 y = x 3 − 3 x y = x^3 - 3x y = x 3 − 3 x 的拐点是（ ）
A. ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 ) B. ( 1 , − 2 ) (1, -2) ( 1 , − 2 ) C. ( − 1 , 2 ) (-1, 2) ( − 1 , 2 ) D. ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 ) 和 ( ± 1 , ∓ 2 ) (\pm1, \mp2) ( ± 1 , ∓ 2 )
4. 若 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x) \, dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ，则 ∫ f ( a x + b ) d x \int f(ax+b) \, dx ∫ f ( a x + b ) d x 等于（ ）（其中 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 ）
A. a F ( a x + b ) + C aF(ax+b) + C a F ( a x + b ) + C B. 1 a F ( a x + b ) + C \frac{1}{a} F(ax+b) + C a 1 F ( a x + b ) + C C. F ( a x + b ) + C F(ax+b) + C F ( a x + b ) + C D. 1 a F ( x ) + C \frac{1}{a} F(x) + C a 1 F ( x ) + C
5. 下列级数中收敛的是（ ）
A. ∑ n = 1 ∞ n n + 1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} ∑ n = 1 ∞ n + 1 n B. ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} ∑ n = 1 ∞ n 1 C. ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} ∑ n = 1 ∞ n ( − 1 ) n − 1 D. ∑ n = 1 ∞ sin n \sum_{n=1}^{\infty} \sin n ∑ n = 1 ∞ sin n
二、填空题（每题3分，共15分） 1. 极限 lim x → ∞ ( 1 + 2 x ) 3 x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = lim x → ∞ ( 1 + x 2 ) 3 x = ______________。
2. 设函数 y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) 由方程 e y + x y = e e^y + xy = e e y + x y = e 所确定，则 y ′ ( 0 ) = y'(0) = y ′ ( 0 ) = ______________。
3. 函数 f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x 在区间 [ − 2 , 2 ] [-2, 2] [ − 2 , 2 ] 上的最大值为 ______________。
4. 定积分 ∫ − 1 1 ( x 2 sin x + 1 − x 2 ) d x = \int_{-1}^{1} (x^2 \sin x + \sqrt{1-x^2}) \, dx = ∫ − 1 1 ( x 2 sin x + 1 − x 2 ) d x = ______________。
5. 幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n ⋅ 2 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 2^n} ∑ n = 1 ∞ n ⋅ 2 n x n 的收敛半径 R = R = R = ______________。
三、计算题（每题8分，共40分） 1. 求极限 lim x → 0 e x − e − x − 2 x x − sin x \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} lim x → 0 x − s i n x e x − e − x − 2 x 。
解：
2. 设 y