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数学通用学段期末试卷

抽象代数期末试卷

抽象代数期末试卷 完成时间：______ 分钟 得分：______ 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设 G G G 是一个群， a , b ∈ G a, b \in G a , b ∈ G ，且 a 5 = e a^5 = e a 5 = e ， b 7 = e b^7 = e b 7 = e ，其中 e e e 是单位元。若 a b = b a a

试卷正文

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抽象代数期末试卷


完成时间：______ 分钟 得分：______



一、选择题（每题3分，共15分）

1. 设 GG 是一个群，a,b∈Ga, b \in G，且 a5=ea^5 = e，b7=eb^7 = e，其中 ee 是单位元。若 ab=baab = ba，则 abab 的阶可能是（______）

A. 12 B. 35 C. 1 D. 105

2. 下列选项中，关于环同态 f:R→Sf: R \to S 的叙述错误的是（______）

A. 若 RR 是整环，则 Im(f)\text{Im}(f) 也是整环。



B. Ker(f)\text{Ker}(f) 是 RR 的理想。



C. f(1R)f(1_R) 不一定是 SS 的单位元。



D. 若 ff 是满射，且 RR 是域，则 SS 也是域。

3. 设 HH 是群 GG 的子群。HH 是 GG 的正规子群的充分必要条件是（______）

A. 对于所有 g∈Gg \in G，有 gH=HggH = Hg。



B. 对于所有 g∈Gg \in G，有 gHg−1⊆HgHg^{-1} \subseteq H。



C. HH 在 GG 中的指数 [G:H]=2[G:H] = 2。



D. HH 是 GG 的极大子群。

4. 在多项式环 Z[x]\mathbb{Z}[x] 中，元素 2x+42x+4 生成的理想是（______）

A. 极大理想 B. 素理想但不是极大理想 C. 主理想 D. 既不是素理想也不是极大理想

5. 关于有限域，以下说法正确的是（______）

A. 任何有限域的乘法群都是循环群。


B. 存在元素个数为6的有限域。



C. 特征为 pp 的有限域一定包含 Zp\mathbb{Z}_p 作为其子域。



D. 有限域的阶一定是素数的幂，且对每个素数幂 pnp^n，同构意义下只有一个有限域。

二、判断题（每题2分，共10分）

判断下列命题是否正确，正确的在括号内写“T”，错误的写“F”。


1. 任何阶大于1的群都含有非平凡子群。（______）

2. 若环 RR 是主理想整环，则 RR 一定是欧几里得整环。（______）

3. 设 GG 是有限群，H≤GH \leq G，则 HH 的阶必整除 GG 的阶。（______）

4. 域上的多项式环是主理想整环。（______）

5. 两个不同构的群可能有同构的自同构群。（______）


三、填空题（每空2分，共20分）

1. 对称群 S4S_4 的阶是 ______，其换位子群 [S4,S4][S_4, S_4] 是 ______ 群（写出具体名称）。

2. 在模 1212 的剩余类环 Z12\mathbb{Z}_{12} 中，元素 4ˉ\bar{4} 的零因子是 ______（写出所有）。单位是 ______（写出所有）。

3. 设 ϕ:Z24→Z18\phi: \mathbb{Z}_{24} \to \mathbb{Z}_{18} 是一个群同态（加法群），则 ϕ\phi 的核 Ker(ϕ)\text{Ker}(\phi) 的可能阶有 ______。

4. 设 FF 是一个特征为 p>0p>0 的域，则映射 σ:F→F\sigma: F \to F，σ(a)=ap\sigma(a) = a^p 称为 ______ 映射，它是 FF 的一个 ______。

5. 设 RR 是一个有单位元的交换环，II 是 RR 的一个理想。商环 R/IR/I 是域的充分必要条件是 II 是 ______ 理想。

四、计算与简答题（共25分）

1. （8分）设群 G=⟨a⟩G = \langle a \rangle 是15阶循环群。



(1) 列出 GG 的所有子群。



(2) 求出 GG 的所有生成元。



(3) 设 H=⟨a3⟩H = \langle a^3 \rangle，写出商群 G/HG/H 的所有元素。

2. （8分）考虑环 Z[−5]={a+b−5∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a+b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} 中的元素 α=6\alpha = 6 和 β=2+2−5\beta = 2 + 2\sqrt{-5}。



(1) 求 α\alpha 和 β\beta 的所有公因子（相伴意义下）。



(2) α\alpha 和 β\beta 在 Z[−5]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中是否存在最大公因子？请说明理由。

3. （9分）设 pp 为奇素数，GG 是一个 p2p^2 阶群。



(1) 证明：GG 是阿贝尔群。

(2) 试确定 GG 在同构意义下有几种可能的结构，并说明理由。

五、证明题（共30分）

1. （10分）设 GG 是一个有限群，HH 是 GG 的真子群。证明：GG 中所有不属于 HH 的元素的个数不小于 ∣H∣|H|。

2. （10分）设 RR 是一个有单位元的交换环，I,JI, J 是 RR 的理想。证明：若 I+J=RI+J = R，则 R/(I∩J)≅R/I×R/JR/(I \cap J) \cong R/I \times R/J。

3. （10分）设 FF 是一个域，f(x)∈F[x]f(x) \in F[x] 是一个不可约多项式，E=F[x]/⟨f(x)⟩E = F[x] / \langle f(x) \rangle。

(1) 证明：EE 是 FF 的扩域。

(2) 设 α=x+⟨f(x)⟩∈E\alpha = x + \langle f(x) \rangle \in E，证明：f(α)=0f(\alpha) = 0，即 α\alpha 是 f(x)f(x) 在 EE 中的一个根。

(3) 若 deg⁡f(x)=n\deg f(x) = n，证明 [E:F]=n[E : F] = n，并描述 EE 作为 FF 上向量空间的一组基。