中职数学（高教版）高二下期期中考试卷
中职数学（高教版）高二下期期中考试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级和学号填写在试卷指定位置。 2. 选择题答案请用2B铅笔填涂
试卷正文
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（满分：150分 考试时间：120分钟）
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
| 姓名：__________ | 班级：__________ | 学号：__________ |
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
| 得分 |
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级和学号填写在试卷指定位置。
2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡上；填空题和解答题请用黑色签字笔将答案写在答题卡对应题号的区域内。
3. 保持卷面清洁，不要折叠、弄破答题卡。
4. 本试卷考察范围：立体几何、三角函数。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 一个几何体的三视图如图所示（此处省略视图描述，改为文字描述：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆），则该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球
2. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3, 4)$，则 $\sin \alpha$ 的值为（ ）
A. $-\frac{3}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $-\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{5}$
3. 下列几何体中，是多面体的是（ ）
A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
4. 已知 $\sin \theta = \frac{1}{2}$，且 $\theta$ 是第二象限角，则 $\cos \theta$ 的值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$
5. 一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）
A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍
6. 函数 $y = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})$ 的最小正周期是（ ）
A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $4\pi$ D. $\frac{\pi}{2}$
7. 在空间中，下列结论正确的是（ ）
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 垂直于同一个平面的两个平面平行
C. 平行于同一个平面的两条直线平行
D. 垂直于同一条直线的两个平面平行
8. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a=3, b=4, \angle C = 60^\circ$，则边 $c$ 的长为（ ）
A. $\sqrt{13}$ B. $\sqrt{37}$ C. $\sqrt{7}$ D. 13
9. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. $10\pi$ B. $20\pi$ C. $10$ D. $20$
10. 为了得到函数 $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = \sin2x$ 的图像（ ）
A. 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位 B. 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位
C. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位 D. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位
11. （中等难度）已知一个正三棱柱的所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A. $2\sqrt{3}$ B. $4\sqrt{3}$ C. $6\sqrt{3}$ D. $8\sqrt{3}$
12. （中等难度）在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5$，则 $\triangle ABC$ 是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
13. 半径为3的球的体积是 __________。（用含 $\pi$ 的式子表示）
14. $\cos 60^\circ + \sin 30^\circ = $ __________。
15. 已知长方体长、宽、高分别为5， 4， 3，则其体对角线的长度为 __________。
16. 已知 $\tan \alpha = 2$，则 $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = $ __________。
17. 一个圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为 __________。
18. 函数 $y = \cos x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上是 __________ 函数。（填“增”或“减”）
19. （中等难度）已知 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$，则 $\sin \theta \cos \theta = $ __________。
20. （难题）在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面边长为2，侧棱长为3，则该四棱锥的高为 __________。
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21. （基础题）已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 为锐角。
（1）求 $\cos \alpha$ 的值；
（2）求 $\tan \alpha$ 的值。
解：
22. （基础题）如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中。
（1）写出直线 $AB$ 与平面 $A_1B_1C_1D_1$ 的位置关系；
（2）写出直线 $AA_1$ 与直线 $BC$ 的位置关系；
（3）若正方体棱长为 $a$，求其体积。
解：
23. （中等题）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$。已知 $b=5, c=3, \cos A = \frac{1}{3}$。
（1）求 $a$ 的值；
（2）求 $\sin C$ 的值。
解：
24. （中等题）已知函数 $f(x) = 2\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$。
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。
解：
25. （综合题/难题）某工厂要制作一个容积为 $32\pi$ 立方米的无盖圆柱形容器。
（1）设容器底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，写出 $h$ 关于 $r$ 的函数表达式；
（2）已知容器侧面造价为每平方米200元，底面造价为每平方米300元。试将容器的总造价 $y$（元）表示为底面半径 $r$（米）的函数；
（3）当底面半径为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少？
（提示：圆柱体积公式 $V = \pi r^2 h$，侧面积公式 $S_{侧} = 2\pi r h$）
解：