上海八年级上册数学期中测试卷

（满分：120分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

题号	一	二	三	四	五	六	七	总分
分数

注意事项：

1. 答题前，考生务必将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 所有答案必须写在试卷上，写在草稿纸上一律无效。

3. 答题时，请使用黑色或蓝色水笔、钢笔书写，作图题可使用铅笔。

4. 保持卷面整洁，不要折叠、弄破试卷。

一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1. 下列各式中，是二次根式的是（______）

A. $\sqrt{-3}$ B. $\sqrt[3]{8}$ C. $\sqrt{(-2)^2}$ D. $\sqrt{0.1}$

2. 关于$x$的方程$(m-2)x^{|m|} + 3x - 1 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为（______）

A. 2 B. -2 C. ±2 D. $\pm\sqrt{2}$

3. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是（______）

A. $\sqrt{9}$ B. $\sqrt{18}$ C. $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D. $\sqrt{0.3}$

4. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$AB$边上的中线长为（______）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（______）

A. $k > 1$ B. $k < 1$ C. $k \ge 1$ D. $k \le 1$

6. 下列命题中，真命题是（______）

A. 无限小数都是无理数 B. 数轴上的点与有理数一一对应

C. 带根号的数都是无理数 D. 实数包括有理数和无理数

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

1. $16$的平方根是______。	2. 化简：$\sqrt{12} =$ ______。	3. 比较大小：$2\sqrt{3}$ ______ $3\sqrt{2}$。
4. 使$\sqrt{x-5}$有意义的$x$的取值范围是______。	5. 计算：$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) =$ ______。	6. 将方程$x(x-1)=2$化为一元二次方程的一般形式是______。
7. 在实数范围内分解因式：$x^2 - 7 =$ ______。	8. 已知直角三角形的两条直角边长分别为$\sqrt{5}$和$2$，则斜边长为______。	9. 若$\sqrt{a-2} + |b+3| = 0$，则$a^b =$ ______。
10. 若一元二次方程$x^2 - 6x + m = 0$的一个根是$2$，则另一个根是______。	11. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，$\angle A = 30^\circ$，$BC = 4$，则$AB =$ ______。	12. 某种商品原价每件100元，经过两次降价后为每件81元，设平均每次降价的百分率为$x$，则可列方程为______。

三、（本大题共2题，每题6分，满分12分）

19. 计算：$\sqrt{18} - \frac{2}{\sqrt{2}} + (\sqrt{3}-1)^2$。

解：

20. 用配方法解方程：$2x^2 - 4x - 3 = 0$。

解：

四、（本大题共2题，每题7分，满分14分）

21. 已知$x = \sqrt{3} + 1$，$y = \sqrt{3} - 1$，求下列各式的值：

（1）$x^2 - y^2$；

（2）$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$。

解：

22. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$。

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若$\triangle ABC$的两边$AB$、$AC$的长是这个方程的两个实数根，第三边$BC$的长为5，当$\triangle ABC$是等腰三角形时，求$k$的值。

解：

五、（本大题满分8分）

23. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，且$BD = CD$。

求证：$\angle B = \angle C$。

（请根据文字描述，画出符合题意的图形，并完成证明）

证明：

六、（本大题满分10分）

24. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用木栏围成，木栏长40米。

（1）鸡场的面积能达到180平方米吗？如果能，求出鸡场的长和宽；如果不能，请说明理由。

（2）鸡场的面积能达到200平方米吗？为什么？

解：

七、（本大题满分10分）

25. 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = BC$，$P$为$\triangle ABC$内部一点，且满足$PA = 3$，$PB = 1$，$PC = 2$。

（1）求$\angle BPC$的度数；

（2）判断$\triangle APC$的形状，并说明理由。

解：

参考答案与解析

一、选择题

1. C	解析：A. $\sqrt{-3}$无意义；B. $\sqrt[3]{8}=2$是立方根；C. $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，符合定义；D. $\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}$是二次根式，但C更符合“是二次根式”的典型判断。实际上A、B明显不是，C和D都是。但C的被开方数明显非负，且化简后为有理数，是二次根式。D也是二次根式。单选题需选一个最典型的，通常认为$\sqrt{a}(a\ge0)$即为二次根式，不论化简结果。故选C。
2. B	解析：由一元二次方程定义得$|m|=2$且$m-2 \ne 0$。由$|m|=2$得$m=\pm2$，由$m-2 \ne 0$得$m \ne 2$，所以$m = -2$。
3. C	解析：$\sqrt{3}$是最简二次根式。A. $\sqrt{9}=3$；B. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；C. $\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；D. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$。只有C化简后含有$\sqrt{3}$，是同类二次根式。
4. B	解析：在Rt$\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以中线长为$5$。
5. B	解析：方程有两个不相等的实数根，则判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k > 0$，解得$k < 1$。
6. D	解析：A错误，无限循环小数是有理数；B错误，数轴上的点与实数一一对应；C错误，如$\sqrt{4}=2$是有理数；D正确，是实数的定义。

二、填空题

1. $\pm 4$	解析：$16$的平方根是$\pm \sqrt{16} = \pm 4$。
2. $2\sqrt{3}$	解析：$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$。
3. $<$	解析：$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{18}$，因为$12<18$，所以$2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$。
4. $x \ge 5$	解析：由二次根式有意义得$x-5 \ge 0$，即$x \ge 5$。
5. $1$	解析：平方差公式：$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4=1$。
6. $x^2 - x - 2 = 0$	解析：去括号得$x^2 - x = 2$，移项得$x^2 - x - 2 = 0$。
7. $(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})$	解析：平方差公式在实数范围内的应用。
8. $3$	解析：斜边=$\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$。
9. $\frac{1}{8}$	解析：由非负性得$\sqrt{a-2}=0$且$|b+3|=0$，所以$a=2, b=-3$，则$a^b = 2^{-3} = \frac{1}{8}$。
10. $4$	解析：设另一根为$x_2$，由根与系数关系得$2 + x_2 = 6$，所以$x_2 = 4$。
11. $8$	解析：在含$30^\circ$的直角三角形中，$30^\circ$所对的直角边$BC$是斜边$AB$的一半，所以$AB = 2BC = 8$。
12. $100(1-x)^2 = 81$	解析：第一次降价后为$100(1-x)$元，第二次后为$100(1-x)^2$元，故得方程。

三、解答题

19. 解：原式 $= 3\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} + (3 - 2\sqrt{3} + 1)$
$= 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + (4 - 2\sqrt{3})$
$= 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{3}$。

20. 解：方程两边同除以2得：$x^2 - 2x - \frac{3}{2} = 0$。
移项：$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$。
配方：$x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{5}{2}$。
开方：$x-1 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$。
所以，$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。

四、解答题

21. 解：（1）$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。
$x+y = (\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$，
$x-y = (\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1) = 2$。
所以，$x^2 - y^2 = 2\sqrt{3} \times 2 = 4\sqrt{3}$。

（2）$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$。
$x^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$，
$y^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$，
所以 $x^2 + y^2 = (4+2\sqrt{3})+(4-2\sqrt{3}) = 8$。
$xy = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1=2$。
所以，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{8}{2} = 4$。

22. 解：（1）证明：$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2+k) = 4k^2+4k+1 - 4k^2 -4k = 1 > 0$。
所以方程总有两个不相等的实数根。

（2）由求根公式得 $x = \frac{2k+1 \pm 1}{2}$，所以 $x_1 = k+1$，$x_2 = k$。
即 $AB = k+1$，$AC = k$（或互换）。
因为 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，且 $BC=5$，所以有三种情况：
① 当 $AB = AC$ 时，$k+1 = k$，不成立；
② 当 $AB = BC = 5$ 时，$k+1 = 5$，解得 $k=4$。此时三边为5,5,4，能构成三角形。
③ 当 $AC = BC = 5$ 时，$k = 5$，解得 $k=5$。此时三边为5,5,6，能构成三角形。
综上所述，$k$的值为4或5。

五、证明题

23. 已知：如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$DE \perp AB$于$E$，$DF \perp AC$于$F$，且$BD=CD$。
求证：$\angle B = \angle C$。

证明：∵ $AD$平分$\angle BAC$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt$\triangle BDE$和Rt$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} BD = CD \\ DE = DF \end{cases}$
∴ Rt$\triangle BDE$ $\cong$ Rt$\triangle CDF$（HL）。
∴ $\angle B = \angle C$（全等三角形的对应角相等）。

六、应用题

24. 解：设垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(40-2x)$米。
（1）根据题意得：$x(40-2x) = 180$。
整理得：$x^2 - 20x + 90 = 0$。
解得：$x_1 = 10 - \sqrt{10} \approx 6.84$，$x_2 = 10 + \sqrt{10} \approx 13.16$。
当$x \approx 6.84$时，$40-2x \approx 26.32 > 25$（墙长），不合题意，舍去。
当$x \approx 13.16$时，$40-2x \approx 13.68 < 25$，符合题意。
答：鸡场的面积能达到180平方米，此时长为13.68米，宽为13.16米（或交换表述）。

（2）假设能达到200平方米，则 $x(40-2x) = 200$。
整理得：$x^2 - 20x + 100 = 0$，即$(x-10)^2=0$，解得 $x=10$。
此时平行于墙的边长为 $40-2\times10 = 20$（米）< 25米，符合墙长要求。
但是，需要考虑面积最大值。鸡场面积 $S = x(40-2x) = -2x^2+40x = -2(x-10)^2+200$。
所以当$x=10$时，面积有最大值200平方米。
因此，鸡场的面积能达到200平方米。此时长为20米，宽为10米。

七、综合题

25. 解：（1）将$\triangle CPB$绕点$C$顺时针旋转$90^\circ$至$\triangle CPA‘$，连接$PP’$。
则 $CP' = CP = 2$，$\angle PCP' = 90^\circ$，$A'P' = BP = 1$。
∴ 在等腰Rt$\triangle CPP‘$中，$PP’ = \sqrt{2}CP = 2\sqrt{2}$，$\angle CPP‘ = 45^\circ$。
在$\triangle APP‘$中，$AP=3$，$PP’=2\sqrt{2}$，$A‘P’=1$。
∵ $A‘P’^2 + PP‘^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1+8=9$，$AP^2=9$。
∴ $A’P‘^2 + PP’^2 = AP^2$。
∴ $\triangle APP‘$是直角三角形，且$\angle AP’P = 90^\circ$（勾股定理逆定理）。
在$\triangle APB‘$（即原$\triangle APC$旋转后的位置关系，需看图理解，$A’$即$B$点旋转后的位置，但此处$A‘$是我们构造的点）… 实际上，$\angle BPC = \angle A’P‘C$。
$\angle A’P‘C = \angle A’P‘P + \angle PP‘C = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$。
∴ $\angle BPC = 135^\circ$。

（2）$\triangle APC$是直角三角形。
理由：由（1）旋转知，$\triangle CPA‘ \cong \triangle CPB$，$\angle CPA’ = \angle CPB = 135^\circ$。
∴ $\angle APC = 360^\circ - \angle APB - \angle BPC$? 此路径较繁。换一种思路：
在$\triangle APP‘$中，$AP=3$，$A’P‘=1$，$\angle AP’P=90^\circ$，可求$AP‘$? 不需要。
实际上，由（1）的旋转可知，$\angle A’P‘C = 135^\circ$，即$\angle BP’C = 135^\circ$。而$\angle AP’B$不易直接得。
更直接的方法：在$\triangle APC$中，已知$AP=3$，$PC=2$，需要判断$\angle APC$。
连接$AP‘$，在$\triangle APP’$中，$\angle AP‘P = 90^\circ$，$AP=3$，$PP‘=2\sqrt{2}$，
由勾股定理得 $AP‘ = \sqrt{AP^2 - PP‘^2} = \sqrt{9-8}=1$。
∴ $AP‘ = A’P‘ = 1$，又$CP=CP‘=2$，$AC = A’C = BC$（由旋转全等，$A’C=BC$，而$AC=BC$）。
所以$\triangle ACP‘ \cong \triangle A’CP‘$（SSS）? 复杂。
实际上，因为$AP‘=1$，$CP’=2$，$AC$可求（在等腰Rt$\triangle ABC$中，$AC=BC$，但长度未知）。我们利用余弦定理（八年级未学）或特殊角判断。
观察发现，在$\triangle APC$中，$AP=3$，$PC=2$，$AC$是多少？
由旋转知，$A‘B = \sqrt{A’P‘^2 + BP‘^2}$? $BP‘$即$PP‘=2\sqrt{2}$。
$A‘B = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = 3$。又$A’B = AB（旋转全等对应边）$？不对，$A‘$是由$B$旋转得到，$A’B$不是三角形的边。实际上，$A‘$是$B$旋转后的点，$A$是固定点，$A’B$不是固定长度。
此题为经典题，通常结论是$\angle APC=150^\circ$或$90^\circ$。经计算验证：
在$\triangle APP‘$中，$AP=3$，$PP’=2\sqrt{2}$，$AP‘=1$，由勾股逆定理知$\angle AP’P=90^\circ$。
在$\triangle CPP‘$中，$\angle CP’P=45^\circ$。
所以 $\angle APC = \angle APP‘ + \angle P’PC$？点P在内部，角度不易加。
利用$AP‘=1$，$CP’=2$，$AC$可求：在$\triangle ABC$中，$AC=BC$，$AB=A’B$? 连接$A’B$，$A‘B = \sqrt{A’P‘^2 + BP‘^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = 3$。而$A‘$是$B$绕$C$旋转90°所得，所以$A’B = \sqrt{BC^2+BC^2} = \sqrt{2}BC$（因为旋转90°，$BA‘$是等腰直角三角形的斜边）。所以$\sqrt{2}BC = 3$，$BC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，则$AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在$\triangle APC$中，$AP=3$，$PC=2$，$AC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.121$。
计算$AP^2=9$，$PC^2+AC^2=4+4.5=8.5$，$AP^2 > PC^2+AC^2$，故$\angle ACP > 90^\circ$，不是直角三角形。
再算$PC^2=4$，$AP^2+AC^2=9+4.5=13.5$，$PC^2 < AP^2+AC^2$；$AC^2=4.5$，$AP^2+PC^2=9+4=13$，$AC^2 < AP^2+PC^2$。无法直接判断。
通过余弦定理计算$\cos \angle APC = \frac{AP^2+PC^2-AC^2}{2 \cdot AP \cdot PC} = \frac{9+4-4.5}{2\times3\times2} = \frac{8.5}{12} \approx 0.7083$，$\angle APC \approx 44.9^\circ$，不是特殊角。
所以$\triangle APC$不是等腰或直角三角形，是一般三角形。
（注：此题为较难题，第（2）问在八年级知识范围内可能旨在考察判断能力，由已知三边长度通过计算验证$AP^2$、$AC^2$、$PC^2$之间的关系，发现无任何两边平方和等于第三边平方，故不是直角三角形。）
结论：$\triangle APC$不是直角三角形。