数学初中单元练习

上海八年级数学四边形存在性问题专题训练试卷

上海八年级数学四边形存在性问题专题训练试卷（满分：100分考试时间：90分钟）姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 完成时间：_______ 分钟得分：_______ 题号一二三四五六七总分分数注意事项： 1. 本试卷为四边形存在性问题专题训练，共7道解答题，满分100分。 2. 答题

试卷正文

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上海八年级数学四边形存在性问题专题训练试卷

（满分：100分考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟得分：_______

题号	一	二	三	四	五	六	七	总分
分数

注意事项：

1. 本试卷为四边形存在性问题专题训练，共7道解答题，满分100分。

2. 答题前，请将姓名、学号、班级填写清楚。

3. 所有题目均在答题区域作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

4. 保持卷面整洁，书写工整。

5. 本试卷涉及知识点范围：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等四边形的存在性判定。

一、（本题12分）

已知平面直角坐标系中三点 $A(1, 2)$，$B(4, 5)$，$C(5, -1)$。

（1）试在坐标平面内找一点 $D$，使得以 $A$、$B$、$C$、$D$ 为顶点的四边形是平行四边形，并写出所有符合条件的点 $D$ 的坐标。

（2）在（1）中找到的点 $D$ 中，是否存在点 $D$，使得四边形 $ABCD$ 是矩形？若存在，请说明理由并写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答：____________________________________________________________________________________

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二、（本题12分）

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$。点 $D$ 为边 $BC$ 上的一个动点（不与 $B$、$C$ 重合），过点 $D$ 作 $DE \parallel AB$ 交 $AC$ 于点 $E$，作 $DF \parallel AC$ 交 $AB$ 于点 $F$。

（1）求证：四边形 $AFDE$ 是平行四边形。

（2）当点 $D$ 运动到何处时，四边形 $AFDE$ 是矩形？请说明理由，并求出此时矩形 $AFDE$ 的面积。

答：____________________________________________________________________________________

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三、（本题14分）

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、$B$。直线 $l_2: y = -2x + 8$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $C$、$D$。$l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $P$。

（1）求点 $A$、$B$、$C$、$D$、$P$ 的坐标。

（2）点 $M$ 是 $x$ 轴上的一个动点。若以点 $P$、$A$、$M$ 和平面内某一点 $N$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标。

（注：题目中“如图”仅为提示，所有信息已用文字和函数表达式给出，无需依赖图形。）

答：____________________________________________________________________________________

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四、（本题14分）

已知点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是任意四边形 $ABCD$ 的边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 的中点。

（1）求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

（2）原四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，中点四边形 $EFGH$ 分别是矩形、菱形、正方形？请分别说明理由。

答：____________________________________________________________________________________

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五、（本题14分）

在平面直角坐标系中，点 $A(0, 3)$，点 $B(6, 0)$。点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$ 轴负方向运动。设运动时间为 $t$ 秒（$0 < t < 3$）。

（1）用含 $t$ 的代数式表示点 $P$、点 $Q$ 的坐标。

（2）当 $t$ 为何值时，以 $A$、$P$、$Q$、$B$ 为顶点的四边形是梯形？请写出所有可能的 $t$ 值，并说明此时梯形的形状（例如：直角梯形、等腰梯形等）。

答：____________________________________________________________________________________

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六、（本题16分）

抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。点 $M$ 是抛物线上一个动点（不与点 $C$ 重合）。

（1）求点 $A$、$B$、$C$ 的坐标。

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 $N$，使得以 $A$、$C$、$M$、$N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $N$，使得平行四边形 $ACMN$ 是菱形？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

答：____________________________________________________________________________________

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七、（本题18分）

在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 6$。点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C$ 的路径以每秒1个单位的速度向点 $C$ 运动；点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to D \to A$ 的路径以每秒2个单位的速度向点 $A$ 运动。两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为 $t$ 秒。

（1）当 $0 \le t \le 4$ 时，点 $P$ 在 $AB$ 上，点 $Q$ 在 $CD$ 上。用含 $t$ 的代数式表示 $AP$、$BP$、$CQ$、$DQ$ 的长度。

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得以 $A$、$P$、$Q$、$D$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得以 $B$、$P$、$Q$、$C$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

（4）在整个运动过程中，以 $A$、$B$、$C$、$D$、$P$、$Q$ 中的四个点为顶点的四边形，哪些类型（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）是可能存在的？请结合图形（分析时自行画图）说明理由，无需计算具体 $t$ 值。

答：____________________________________________________________________________________

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